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Verteilungsfunktion;
absolutstetige Zufallsvariablen
Sei
ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum und
eine beliebige Zufallsvariable.
- Definition
- Die Funktion
mit
heißt Verteilungsfunktion von .
Wir diskutieren nun zunächst einige Eigenschaften von Verteilungsfunktionen.
Theorem 3.3
Sei
eine beliebige
Zufallsvariable und
ihre
Verteilungsfunktion. Dann gilt
- 1.
- Asymptotisches Verhalten im Unendlichen:
|
(6) |
- 2.
- Monotonie:
|
(7) |
- 3.
- Rechtsstetigkeit:
ist rechtsseitig stetig, d.h. für jede Folge
mit
und
gilt
|
(8) |
- Beweis
-
- Zu 2.
- Weil
, ergibt sich
aus Teilaussage 2 von Theorem 2.1, dass
- Zu 1.
- Wir zeigen nur die erste Teilaussage von
(6). Wegen der Monotonie von können wir
o.B.d.A. annehmen, dass monoton gegen
konvergiert. Aus Korollar 2.2 ergibt
sich dann, dass
Der Beweis der zweiten Teilaussage von (6)
verläuft analog.
- Zu 3.
- Ähnlich wie im Beweis von Teilaussage 1 ergibt sich
aus Korollar 2.2, dass
- Beachte
-
- Mit Hilfe der Verteilungsfunktion lassen sich auch
die folgenden Wahrscheinlichkeiten ausdrücken
denn es gilt beispielsweise
- Im allgemeinen gilt jedoch nicht
, sondern
|
(9) |
denn
- In Theorem 3.3 wurde gezeigt,
dass
- Verteilungsfunktionen monotone und beschränkte Funktionen sind.
- Hieraus folgt, dass Verteilungsfunktionen
für jedes
nur endlich viele Sprungstellen
besitzen können, deren Sprunghöhen größer als
sind.
- Insgesamt können Verteilungsfunktionen also höchstens
abzählbar viele Sprungstellen besitzen.
- Für die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen
gilt für jedes
:
wobei
.
- Die Verteilungsfunktion einer diskreten
Zufallsvariablen ist eine sogenannte Treppenfunktion, d.h. eine stückweise konstante Funktion
mit der Sprunghöhe im Punkt .
Theorem 3.4
Sei
eine beliebige
Zufallsvariable. Dann wird die Verteilung
von
durch die
Verteilungsfunktion
von
eindeutig bestimmt.
- Beweis
-
- Definition
- Die Zufallsvariable
(bzw. ihre Verteilung) heißt absolutstetig,
falls die Verteilungsfunktion von die folgende
Integraldarstellung
|
(12) |
besitzt, wobei
eine (Lebesgue-integrierbare)
Funktion mit nichtnegativen Werten ist, die Dichte (bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte) von genannt wird. Das
Integral in (12) wird im allgemeinen als Lebesgue-Integral
aufgefasst.
Die Verteilungsfunktion (und damit auch die Verteilung
) einer absolutstetigen Zufallsvariablen wird in dem
folgenden Sinne eindeutig durch die Dichte bestimmt.
- Beweis
-
- Die Hinlänglichkeit der Bedingung (13) ist
offensichtlich, denn es genügt, in (13) die
spezielle Borel-Menge
einzusetzen, um
(12) zu erhalten.
- Die Notwendigkeit der Bedingung (13) ergibt sich
aus (12) und aus dem eineindeutigen Zusammenhang
zwischen Verteilung und Verteilungsfunktion, vgl.
Theorem 3.4.
- Die Notwendigkeit und Hinlänglichkeit von Bedingung
(14) ergibt sich aus den allgemeinen
(Eindeutigkeits-) Eigenschaften von Lebesgue-Integralen, vgl.
die Vorlesung Analysis III.
- Beachte
-
- Bei vielen Anwendungen ist die Dichte eine (zumindest
stückweise) stetige Funktion. Das Integral in der
Definitionsgleichung (12) ist dann ein
uneigentliches Riemann-Integral.
- Falls absolutstetig ist, dann hat die
Verteilungsfunktion keine Sprünge, d.h., ist eine
(im üblichen Sinne) stetige Funktion. Hieraus und aus
(9) folgt insbesondere, dass
|
(15) |
- Die Verteilungsfunktion einer absolutstetigen
Zufallsvariablen ist jedoch im allgemeinen nicht
überall differenzierbar. Und zwar ist dort nicht
differenzierbar, wo die Dichte Sprungstellen hat.
- Beispiele
- Um die Verteilung einer absolutstetigen
Zufallsvariablen zu beschreiben,
genügt es, die Dichte zu betrachten, weil durch die
Verteilungsfunktion und damit auch die Verteilung
von eindeutig bestimmt wird.
- Normalverteilung N
mit den
Parametern
und
:
|
(16) |
Spezialfall: Standardnormalverteilung N. Dann
nimmt die Dichte in (16) die folgende Form
an:
|
(17) |
- Exponentialverteilung Exp mit Parameter
:
- Gleichverteilung U mit den Parametern
, wobei :
- Beachte
-
- Absolutstetige Verteilungen treten oft als
(asymptotische) Näherungslösungen auf.
- So lässt sich beispielsweise die Binomialverteilung mit den
Parametern und durch die Standardnormalverteilung
approximieren, falls groß ist. Dies ist
der folgende zentrale Grenzwertsatz von
DeMoivre-Laplace.
Theorem 3.6
Für beliebige
und
mit
gilt
|
(18) |
wobei
binomialverteilt (mit den Parametern
und
) und
standardnormalverteilt ist.
Der Beweis von Theorem 3.6 wird zunächst weggelassen und
später, in Abschnitt 5.3 der Vorlesung, in einem allgemeineren
Zusammenhang nachgeholt.
- Beachte
-
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Ursa Pantle
2004-05-10