Satz über monotone Klassen

Bevor wir in Abschnitt 3.2.4 die Begriffe ,,Verteilungsfunktion'' bzw. ,,absolutstetige Zufallsvariable'' einführen, erwähnen wir einen Satz über monotone Mengensysteme (ohne Beweis), der ein wichtiges Hilfsmittel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist.

Definition

$\;$ Sei $\Omega$ eine beliebige Menge.

1. Eine Familie $\mathcal{G}$ von Teilmengen von $\Omega$ heißt $d$-System auf $\Omega$, falls
   • $\Omega\in\mathcal{G}$,
   • $A\setminus B\in\mathcal{G}$ für beliebige $A,B\in\mathcal{G}$ mit $A\supset B$,
   • $\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal{G}$ für beliebige $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{G}$ mit $A_1\subset A_2\subset\ldots$.
2. Eine nichtleere Familie $\mathcal{G}$ von Teilmengen von $\Omega$ heißt $\pi$-System auf $\Omega$, falls $\bigcap_{i=1}^n A_i\in\mathcal{G}$ für jedes $n=1,2,\ldots$ und für beliebige $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{G}$.

Beachte

$\;$

• Jede $\sigma$-Algebra auf $\Omega$ ist gleichzeitig ein $d$-System und auch ein $\pi$-System auf $\Omega$.
• Umgekehrt ist jedes System von Teilmengen von $\Omega$, dass sowohl ein $d$-System als auch ein $\pi$-System auf $\Omega$ ist, eine $\sigma$-Algebra auf $\Omega$.
• Schreibweise: Sei $d(\mathcal{G})$ das kleinste $d$-System, das das erzeugende System $\mathcal{G}$ von Teilmengen von $\Omega$ umfasst. Analog bezeichne $\sigma(\mathcal{G})$ die kleinste $\sigma$-Algebra, die das erzeugende System $\mathcal{G}$ von Teilmengen von $\Omega$ umfasst.

Theorem 3.2   (Monotone class theorem) Sei $\mathcal{G}$ ein $\pi$-System auf $\Omega$. Dann gilt

$$\sigma(\mathcal{G})=d(\mathcal{G})\,.$$ (5)

Der Beweis von Theorem 3.2 geht über den Rahmen dieser einführenden Vorlesung hinaus und wird deshalb weggelassen.