Bevor wir in Abschnitt 3.2.4 die Begriffe
,,Verteilungsfunktion'' bzw. ,,absolutstetige Zufallsvariable''
einführen, erwähnen wir einen Satz über monotone Mengensysteme
(ohne Beweis), der ein wichtiges Hilfsmittel in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung ist.
Definition
Sei eine beliebige Menge.
Eine Familie
von Teilmengen von heißt
-System auf , falls
,
für beliebige
mit
,
für beliebige
mit
.
Eine nichtleere Familie
von Teilmengen von heißt
-System auf , falls
für jedes
und für beliebige
.
Beachte
Jede -Algebra auf ist gleichzeitig ein -System
und auch ein -System auf .
Umgekehrt ist jedes System von Teilmengen von , dass
sowohl ein -System als auch ein -System auf ist,
eine -Algebra auf .
Schreibweise: Sei
das kleinste -System, das
das erzeugende System
von Teilmengen von umfasst.
Analog bezeichne
die kleinste -Algebra,
die das erzeugende System
von Teilmengen von
umfasst.
Theorem 3.2
(Monotone class theorem)
Sei
ein -System auf . Dann gilt
(5)
Der Beweis von Theorem 3.2 geht über den
Rahmen dieser einführenden Vorlesung hinaus und wird deshalb
weggelassen.