Quadrierung

Theorem 3.15   Sei $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsgröße. Dann gilt

1.

für die Verteilungsfunktion von $X^2$

$$F_{X^{2}}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} F_X(\sqrt{x})-F_X(-\sqrt{... ...\textrm{falls }x\geq 0\,, \\ 0\,, & \textrm{falls }x<0\,. \end{array}\right.$$

2.

Falls $X$ absolutstetig ist mit der Dichte $f_X$, dann ist auch $X^2$ absolutstetig, und es gilt

$$f_{X^2}(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2\sqrt{x}}( f_X(\sq... ... & \textrm{falls }x>0\,,\\ 0\,, & \textrm{falls }x\leq 0\,. \end{array}\right.$$ (42)

Beweis

$\;$ Wir können ähnlich wie im Beweis von Theorem 3.13 vorgehen:

• Für $x<0$ gilt offenbar $F_{X^2}(x)=0$.
• Für $x\ge 0$ gilt
  

  $$F_{X^2}(x) = P(X^2\le x)$$

  $$= P(-\sqrt{x}\le X\le\sqrt{x})$$

  $$= P(X\le\sqrt{x})-P(X<-\sqrt{x})$$

  $$= F_X(\sqrt{x})-F_X(-\sqrt{x})+ P(X=-\sqrt{x})\,.$$

  
  

• Damit ist die erste Teilaussage bewiesen.
• Im absolutstetigen Fall gilt für $x\ge 0$
  

  $$F_{X^2}(x) = P(-\sqrt{x}\le X\le\sqrt{x})$$

  $$= \int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} f_X(u)\, du$$

  $$= \int\limits_0^{\sqrt{x}} f_X(u)\, du +\int\limits_{-\sqrt{x}}^0 f_X(u)\, du$$

  $$= \int\limits_0^x \frac{1}{2\sqrt{v}} f_X(\sqrt{v})\, dv + \int\limits_0^x \frac{1}{2\sqrt{v}} f_X(-\sqrt{v})\, dv$$

  $$= \int\limits_0^x \frac{1}{2\sqrt{v}} \bigl( f_X(\sqrt{v}) + f_X(-\sqrt{v})\bigr)\, dv\,,$$

  
  
  wobei in der vorletzten Gleichheit die Substitution $u=\sqrt{v}$ im ersten Integral und die Substitution $u=-\sqrt{v}$ im zweiten Integral verwendet wurde.
• Damit ist gezeigt, dass die Verteilungsfunktion $F_{X^2}$ von $X^2$ eine Integraldarstellung mit der in (42) gegebenen Dichte besitzt.
  
  $\Box$

Beispiel

$\;$ Falls $X\sim N(0,1)$, dann ergibt sich aus (42):

$$f_{X^2}(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} \ex... ...x}{2})&\mbox{falls $x> 0$,}\\ 0\,, & \mbox{falls $x\le 0$.} \end{array}\right.$$ (43)

Beachte

$\;$ Die Summe von $n$ unabhängigen (und identisch verteilten) Zufallsvariablen, deren Dichte durch (43) gegeben ist, heißt $\chi^2$-verteilt mit $n$ sogenannten Freiheitsgraden. Die $\chi^2$-Verteilungen werden in der Vorlesung Statistik I genauer diskutiert. Sie sind eine Familie von sogenannten statistischen Prüfverteilungen.