Summe, Produkt und Quotient von unabhängigen Zufallsvariablen

Theorem 3.16   Sei $X=(X_1,X_2):\Omega\rightarrow\mathbb{R}^2$ ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der (gemeinsamen) Dichte $f_X$. Dann ist auch die Zufallsvariable $X_1+X_2$ absolutstetig, und ihre Dichte ist gegeben durch

$$f_{X_1+X_2}(z)=\int\limits ^{\infty}_{-\infty}f_X(t,z-t)\, dt\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$$ (44)

Falls die Zufallsvariablen $X_1,X_2$ unabhängig sind, dann gilt insbesondere die sogenannte Faltungsformel

$$f_{X_1+X_2}(z)=\int\limits ^{\infty }_{-\infty } f_{X_1}(t)f_{X_2}(z-t)\, dt\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$$ (45)

Beweis

 

• Wir nutzen die Tatsache, dass zwischen Verteilungsfunktion und Dichte einer Zufallsvariablen eine eineindeutige Zuordnung besteht, und zeigen,
• dass das Integral der Funktion in (44) die Verteilungsfunktion von $X_1+X_2$ ergibt.
• Und zwar gilt für jedes $z\in\mathbb{R}$
  

  $$\int\limits ^{z}_{-\infty }\int\limits ^{\infty }_{-\infty } f_X(t,\, v-t)\, dt\, dv = \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\int\limits ^{z}_{-\infty } f_X(t,\, \underbrace{v-t}_{=u})\, dv\, dt$$

  $$= \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\int\limits ^{z-t}_{-\infty } f_X(t,u)\, du\, dt$$

  $$= \underset {\{(t,\, u):\, t+u\leq z\}}{\int} f_X(t,\, u)\, d(u,t)$$

  $$= P_X\bigl((t,u):t+u\le z\bigr)$$

  $$= P(X_1+X_2\leq z)\,.$$

  
  

• Die Faltungsformel (45) ergibt sich unmittelbar aus (44), weil $f_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)=f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)$ für fast alle $(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$, falls $X_1$ und $X_2$ unabhängig sind.
  
  $\Box$

Korollar 3.2   Falls die Zufallsvariablen $X_1,X_2$ unabhängig sind mit $X_1\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ bzw. $X_2\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$, dann ist auch die Summe $X_1+X_2$ normalverteilt mit

$$\mbox{$X_1+X_2\sim$\ N$(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\,.$}$$ (46)

Beweis

 

• Aus (45) und aus Formel (16) für die Dichte der Normalverteilung ergibt sich
  

  $$f_{X_1+X_2}(z) = \int\limits ^{\infty }_{-\infty } f_{X_1}(t)f_{X_2}(z-t)\, dt$$

  $$= \int\limits ^{\infty }_{-\infty } \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} \... ... \exp \Bigl( -\frac{1}{2}\Bigl(\frac{z-t-\mu_2}{\sigma_2 }\Bigr)^{2}\Bigr)\, dt$$

  $$= \int\limits ^{\infty }_{-\infty } \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} \... ...igl( -\frac{1}{2}\Bigl(\frac{z-(\mu_1+\mu_2)-t}{\sigma_2 }\Bigr)^{2}\Bigr)\, dt$$

  $$= \int\limits ^{\infty }_{-\infty } \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} ... ...^{2} -\frac{1}{2}\Bigl(\frac{z-(\mu_1+\mu_2)-t}{\sigma_2 }\Bigr)^{2}\Bigr)\, dt$$

  $$= \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \exp \Bigl( -\frac{1}{2}\frac{(z-(\mu_1+\mu_2))^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\Bigr) g(z)\,,$$

  
  
  wobei
  

  $$g(z) = \int\limits_{-\infty}^\infty\exp\Bigl(-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^... ...t-\frac{\sigma_1^2( z-(\mu_1+\mu_2))}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\Bigr)^2\Bigr)\, dt$$

  $$= \int\limits_{-\infty}^\infty\exp\Bigl(-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2} \; t^2\Bigr)\, dt$$

  $$= \frac{\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\int\limits_... ...igr)\, dt = \frac{\sqrt{2\pi}\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\;.$$

  
  
  Also gilt
  $$f_{X_1+X_2}(z)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}... ...\Bigl(\frac{z-(\mu_1+\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2} }\Bigr)^{2}\Bigr)\,.$$

• Damit ist gezeigt, dass $f_{X_1+X_2}$ die Dichte der Normalverteilung N $(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ ist.
• Wegen des eineindeutigen Zusammenhanges zwischen Dichte und Verteilung gilt also (46).
  
  $\Box$

Beachte

 

• Das in Korollar 3.2 gegebene Additionstheorem für unabhängige und normalverteilte Zufallsvariablen wird auch Faltungsstabilität der Normalverteilung genannt.
• Für eine beliebige Anzahl $n\ge 2$ von unabhängigen Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n$ mit $X_i\sim$ N $(\mu_i,\sigma_i^2)$ für alle $i\in\{1,\ldots,n\}$ ergibt sich nun durch Iteration, dass
     $$\mbox{$X_1+\ldots+X_n\sim$ N$(\mu_1+\ldots+\mu_n,\sigma_1^2+\ldots+ \sigma_n^2)\,.$}$$$$$$

Völlig analog zu Theorem 3.16 ergibt sich

Theorem 3.17   Die Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ seien unabhängig und absolutstetig mit den Dichten $f_{X_1}$ und $f_{X_2}$. Dann sind die Zufallsvariablen $X_1\cdot X_2$ und $X_1/X_2$ absolutstetig, und ihre Dichten sind gegeben durch

$$f_{X_1\cdot X_2}(z) =\int\limits ^{\infty }_{-\infty }\frac{1}{\vert t\vert} f_{X_1}(t)f_{X_2}(\frac{z}{t})\, dt \qquad\forall z\in\mathbb{R}$$ (47)

bzw.

$$f_{X_1/X_2}(z)=\int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert t\vert f_{X_1}(z\cdot t)f_{X_2}(t)\, dt\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$$ (48)

Beachte

 

• Der Fall $X_2(\omega)=0$, der bei der Bildung des Quotienten $X_1/X_2$ zur Division durch Null führen würde, tritt nur mit Wahrscheinlichkeit Null auf (weil $X_2$ absolutstetig ist).
• Deshalb kann $X_1(\omega)/X_2(\omega)$ für solche $\omega \in \Omega$ gesondert definiert werden (z.B. können wir dann $X_1(\omega)/X_2(\omega)=0$ setzen).

Beispiel

$\;$ Falls $X_1$ und $X_2$ unabhängig sind mit $X_1\sim$ N(0,1) und $X_{2}\sim$ N(0,1), dann gilt

$$f_{X_1/X_2}(z)=\frac{1}{\pi (z^{2}+1)}\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$$ (49)

denn aus (48) ergibt sich, dass

$$f_{X_1/X_2}(z) = \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert t\vert f_{X_1}(z\cdot t)f_{X_2}(t)\, dt$$

$$= \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert t\vert\frac{1}{2\pi } \exp \Bigl(-\frac{1}{2}((z\,t)^{2}+t^{2})\Bigr)\, dt$$

$$\overset {\textrm{Symmetrie}}{=} \frac{1}{\pi } \int\limits ^{\infty }_{0}t \exp \Bigl(-\underbrace{\frac{t^{2}}{2}(z^{2}+1)}_{=v}\Bigr)\, dt$$

$$= \frac{1}{\pi (z^{2}+1)} \underbrace{\int ^{\infty }_{0}e^{-v}\, dv}_{=1} =\frac{1}{\pi (z^{2}+1)}\;.$$

Beachte

$\;$ Eine absolutstetige Zufallsvariable mit der in (49) gegebenen Dichte heißt Cauchy-verteilt.