Lineare Transformation

Ein wichtiger Spezialfall einer zusammengesetzten Abbildung ist die lineare Transformation von Zufallsvariablen, wobei $n=1$ und $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $\varphi(x)=ax+b$; $a,b\in\mathbb{R}$.

Theorem 3.13   Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable und $a,b\in\mathbb{R}$ beliebige Zahlen mit $a\neq 0$. Dann ist $aX+b$ eine Zufallsvariable, und

1.

die Verteilungsfunktion von $aX+b$ ist gegeben durch

$$F_{aX+b}(x)=\left\{ \begin{array}{cc} F_X\Bigl(\frac{x-b}{a}\Bigr... ...gr)+ P\Bigl(X=\frac{x-b}{a}\Bigr)\,, & \textrm{falls }a<0\,. \end{array}\right.$$ (37)

2.

falls $X$ absolutstetig ist mit der Dichte $f_X$, dann ist auch $aX+b$ absolutstetig mit der Dichte

$$f_{aX+b}(x)=\frac{1}{\vert a\vert}f_{X}(\frac{x-b}{a})\,.$$ (38)

Beweis

 

• Falls $a>0$, dann gilt
  $$F_{aX+b}(x)= P(aX+b\leq x)= P\Bigl(X\leq \frac{x-b}{a}\Bigr)=F_{X}\Bigl(\frac{x-b}{a}\Bigr)\,.$$

• Analog ergibt sich für $a<0$
  

  $$F_{aX+b}(x) = P(aX+b\leq x)$$

  $$= P\Bigl(X\geq \frac{x-b}{a}\Bigr)$$

  $$= 1- P\Bigl(X<\frac{x-b}{a}\Bigr)$$

  $$= 1-F_X\Bigl(\frac{x-b}{a}\Bigr) + P \Bigl(X=\frac{x-b}{a}\Bigr)\,.$$

  
  

• Damit ist (37) bewiesen.
• Sei nun $X$ absolutstetig. Weil $\varphi(x)=ax+b$, gilt dann $\varphi^{-1}(x)=a^{-1}(x-b)$ und somit $(\varphi^{-1})^\prime(x)=a^{-1}$. Die Behauptung (38) ergibt sich nun aus der folgenden allgemeinen Transformationsformel (40) für Dichten absolutstetiger Zufallsvariablen.
  
  $\Box$

Theorem 3.14   Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable.

1.

$\;$ Falls die Abbildung $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ stetig und streng monoton wachsend ist, dann gilt für die Verteilungsfunktion $F_{\varphi(X)}$ von $\varphi(X)$

$$F_{\varphi(X)}(x)=F_X(\varphi^{-1}(x))\,,$$ (39)

wobei $\varphi^{-1}$ die Umkehrfunktion von $\varphi$ bezeichnet.

2.

$\;$ Sei nun $X$ absolutstetig mit der Dichte $f_X$, sei $B\subset\mathbb{R}$ eine offene Menge mit $P(X\in B)=1$, und sei $\varphi$ stetig differenzierbar auf $B$ mit $\varphi^\prime(x)\not= 0$ für alle $x\in B$. Dann ist $\varphi(X)$ absolutstetig, und es gilt

$$f_{\varphi(X)}(y)=f_X(\varphi^{-1}(y))\vert(\varphi^{-1})^\prime(y)\vert$$ (40)

für alle $y\in\varphi(B):=\{\varphi(x):x\in B\}$.

Beweis

 

• Für jedes $x\in\mathbb{R}$ gilt
  $$F_{\varphi(X)}(x)=P(\varphi(X)\le x)= P(X\le\varphi^{-1}(x))=F_X(\varphi^{-1}(x))\,.$$

• Damit ist (39) bewiesen.
• Wir zeigen (40) nur für den Spezialfall, dass $B=\mathbb{R}$. Dann können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit voraussetzen, dass $\varphi^\prime(x)>0$ für alle $x\in\mathbb{R}$. (Falls $\varphi^\prime(x)<0$ für alle $x\in\mathbb{R}$, dann verläuft der Beweis analog.)
• Sei also $\varphi^\prime(x)>0$ für alle $x\in\mathbb{R}$.
• Aus Teilaussage 1 ergibt sich dann, dass
  

  $$F_{\varphi(X)}(x) = F_X(\varphi^{-1}(x))$$

  $$= \int\limits_{-\infty}^{\varphi^{-1}(x)} f_X(u)\,du$$

  $$= \int\limits_{-\infty}^x f_X(\varphi^{-1}(v))\vert(\varphi^{-1})^\prime(v)\vert\, dv\,,$$

  
  
  wobei sich die letzte Gleichheit mit $u=\varphi^{-1}(v)$ aus den allgemeinen Substitutionsregeln für Lebesgue-Integrale ergibt.
• Hieraus und aus dem Zusammenhang zwischen Verteilungsfunktion und Dichte von absolutstetigen Zufallsvariablen ergibt sich (40), vgl. die Theoreme 3.4 und 3.5.
  
  $\Box$

Beispiel

 

• Sei $X$ standardnormalverteilt, und $\sigma>0$, $\mu\in\mathbb{R}$ seien beliebige Konstanten.
• Gemäß Theorem 3.13 ist dann die Zufallsvariable $Y=\sigma X+\mu$ absolutstetig, und es gilt

  $$f_Y(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \Bigl( -\frac{1}{2}\Bigl(\frac{x-\mu}{\sigma }\Bigr)^{2}\Bigr)\,.$$ (41)

  
  

• Eine Zufallsvariable $Y$, deren Dichte durch (41) gegeben ist, heißt normalverteilt mit den Parametern $\mu$ und $\sigma^2$; vgl. auch Abschnitt 3.2.4. Dabei verwenden wir die Schreibweise $Y\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$.
• Umgekehrt ergibt sich, ausgehend von einer normalverteilten Zufallsvariablen $Y\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$, durch die lineare Transformation $X=(Y-\mu)/\sigma$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable $X\sim$ N$(0,1)$.