Alternative Integral-Darstellungen

Die folgende Darstellungsformel des Erwartungswertes von positiven Zufallsvariablen ist äußerst nützlich.

Theorem 4.2   Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit $P(X\ge 0)=1$. Dann gilt

$${\mathbb{E}\,}X=\int\limits_0^\infty (1-F_X(y))\, dy\,.$$ (10)

Beweis

$\;$ Aus der Definitionsgleichung (4) von ${\mathbb{E}\,}X$ und aus dem Satz von Fubini ergibt sich, dass

$${\mathbb{E}\,}X = \int_\mathbb{R}x P_X(dx) = \int\limits_0^\infty x P_X(dx) = \int\... ...igl(\int\limits_0^\infty {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(0,x)}(y) \, dy\Bigr) P_X(dx)$$

$$= \int\limits_0^\infty \Bigl(\int\limits_0^\infty {1\hspace{-1mm}{\... ...P_X(dx)\Bigr) \, dy = \int\limits_0^\infty P_X(\{x:\,x\in\mathbb{R},x>y\})\, dy$$

$$= \int\limits_0^\infty P(X>y)\, dy = \int\limits_0^\infty (1-F_X(y))\, dy\,.$$

 
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Korollar 4.1   Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine integrierbare Zufallsvariable. Dann gilt

$${\mathbb{E}\,}X=\int\limits_0^\infty (1-F_X(y))\, dy -\int\limits_{-\infty}^0 F_X(y)\, dy \,.$$ (11)

Beweis

$\;$ Ähnlich wie im Beweis von Theorem 4.2 ergibt sich, dass

$${\mathbb{E}\,}X = \int_\mathbb{R}x P_X(dx) = \int\limits_0^\infty x P_X(dx)+\int\limits_{-\infty}^0 x P_X(dx)$$

$$= \int\limits_0^\infty x P_X(dx)-\int\limits_{-\infty}^0 (-x) P_X(dx) = \int\limits_0^\infty (1-F_X(y))\, dy -\int\limits_{-\infty}^0 F_X(y)\, dy \,,$$

wobei in der letzten Gleichheit die Formel (10) und die Tatsache genutzt wird, dass

$$\int\limits_{-\infty}^0 (-x) P_X(dx) = \int\limits_{-\infty}^0 \Bigl(\int\limits_0^\infty {1\hspace{-1mm... ...int\limits_{-\infty}^0 {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(0,-x]}(y)\, P_X(dx)\Bigr)\, dy$$

$$= \int\limits_0^\infty P_X(\{x:\, x\in\mathbb{R}, -x\ge y\})\, dy = \int\limits_0^\infty P_X(\{x:\, x\in\mathbb{R}, x\le -y\})\, dy$$

$$= \int\limits_0^\infty P(X\le -y)\, dy = \int\limits_0^\infty F_X(-y)\, dy = \int\limits_{-\infty}^0 F_X(y)\, dy \,.$$

 
  $\Box$

Wir zeigen nun noch, dass der in (4) definierte Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ auch in der folgenden Form dargestellt werden kann.

Theorem 4.3   Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable, deren Verteilung der Bedingung $(\ref{abs.int.bed})$ genügt. Dann gilt

$${\mathbb{E}\,}X=\int_\Omega X(\omega)\, P(d\omega)\,.$$ (12)

Beweis

 

• Wir zeigen die Gültigkeit von (12) zunächst für den Fall, dass $X={1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A$ für ein $A\in\mathcal{F}$.
• Dann gilt

  $${\mathbb{E}\,}X=\int_\Omega {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A(\omega)P(d\omega)\,,$$ (13)

  
  
  denn
  

  $${\mathbb{E}\,}X = {\mathbb{E}\,}{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A = 0\cdot P_X(\{0\})+ 1\cdot P_X(\{1\})$$

  $$= 0\cdot P({1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A=0)+1\cdot P({1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A=1)$$

  $$= 0\cdot P(A^c)+1\cdot P(A) = \int_\Omega {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A(\omega)P(d\omega)\,.$$

  
  

• Auf analoge Weise lässt sich die Gültigkeit von (12) für Linearkombinationen von Indikatorvariablen zeigen.
• Und zwar seien $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$ beliebige Ereignisse und $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$ beliebige reelle Zahlen.
• Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können (und werden) wir annehmen, dass $A_1,\ldots,A_n$ paarweise disjunkte Mengen sind.
• Für die Zufallsvariable $X=\sum_{i=1}^n x_i{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{A_i}$ gilt dann wegen (6) und (13), dass
  

  $${\mathbb{E}\,}X = {\mathbb{E}\,}\sum\limits_{i=1}^n x_i {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{A_... ..._i P(A_i) = \sum\limits_{i=1}^n x_i {\mathbb{E}\,}{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{A_i}$$

  $$= \sum\limits_{i=1}^n x_i \int_\Omega{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{A_i}(... ...pace{-1mm}{\rm I}}_{A_i}(\omega)P(d\omega) = \int_\Omega X(\omega)P(d\omega)\,.$$

  
  

• Mit Hilfe des Satzes von Beppo Levi (über die monotone Konvergenz von Lebesgue-Integralen) wird schließlich gezeigt, dass (12) für jede Zufallsvariable $X$ gilt, deren Verteilung der Bedingung $(\ref{abs.int.bed})$ genügt.
• Dabei nutzen wir die Tatsache, dass jede Zufallsvariable $X:\Omega\to\mathbb{R}$ in den positiven Teil $X^+=\max\{0,X\}$ bzw. den negativen Teil $X^-=-\min\{0,X\}$ zerlegt werden kann.
• Dann gilt $X=X^+-X^-$, und es gibt zwei monoton wachsende Folgen $\{X^+_n\}$ bzw. $\{X^-_n\}$ von Linearkombinationen von Indikatorvariablen, so dass $X^+_n\uparrow X^+$ und $X^-_n\uparrow X^-$.
• Aus Korollar 4.1 und aus dem Satz über die monotone Konvergenz ergibt sich nun, dass
  

  $${\mathbb{E}\,}X = \int\limits_0^\infty (1-F_X(y))\, dy -\int\limits_{-\infty}^0 F_X... ... dy = \int\limits_0^\infty P(X^+>y)\, dy -\int\limits_0^\infty P(X^-\ge y)\, dy$$

  $$= \int\limits_0^\infty P(\lim_n X_n^+>y)\, dy -\int\limits_0^\infty P(\lim_n X_n^-\ge y)\, dy$$

  $$= \int\limits_0^\infty \lim_n P(X_n^+>y)\, dy -\int\limits_0^\infty \lim_n P( X_n^-\ge y)\, dy$$

  $$= \lim_n\int\limits_0^\infty P(X_n^+>y)\, dy -\lim_n\underbrace{\int\limits_0^\infty P( X_n^-\ge y)\, dy}_{=\int\limits_0^\infty P(X_n^->y)\, dy}\,.$$

  
  
  Durch erneute Anwendung von Korollar 4.1 und des Satzes über die monotone Konvergenz ergibt sich somit, dass
  

  $${\mathbb{E}\,}X = \lim_n {\mathbb{E}\,}X_n^+ -\lim_n{\mathbb{E}\,}X_n^-$$

  $$= \lim_n \int_\Omega X_n^+(\omega) P(d\omega) -\lim_n \int_\Omega X_n^-(\omega) P(d\omega)$$

  $$= \int_\Omega X^+(\omega) P(d\omega) - \int_\Omega X^-(\omega) P(d\omega)$$

  $$= \int_\Omega (X^+(\omega) - X^-(\omega)) P(d\omega)=\int_\Omega X(\omega)P(d\omega)\,.$$

  
  
  
   
    $\Box$
  
  
  

Beachte

 

• Die im Beweis von Theorem 4.3 verwendete Methode wird algebraische Induktion genannt.
• Sie beruht auf dem Prinzip, die betreffende Aussage zunächst
  • für Indikatoren von Ereignissen,
  • danach für Linearkombinationen von Indikatoren
  • und schließlich (durch monotone Approximation und Zerlegung in Positiv- bzw. Negativteil) für beliebige Zufallsvariablen zu beweisen.
• Wir werden im folgenden noch weitere Aussagen mit dieser Beweismethode herleiten.