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Alternative Integral-Darstellungen

Die folgende Darstellungsformel des Erwartungswertes von positiven Zufallsvariablen ist äußerst nützlich.

Theorem 4.2   Sei $ X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit $ P(X\ge 0)=1$. Dann gilt

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}X=\int\limits_0^\infty (1-F_X(y))\, dy\,.$ (10)

Beweis
$ \;$ Aus der Definitionsgleichung (4) von $ {\mathbb{E}\,}X$ und aus dem Satz von Fubini ergibt sich, dass
$\displaystyle {\mathbb{E}\,}X$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_\mathbb{R}x P_X(dx) = \int\limits_0^\infty x P_X(dx)
= \int\...
...igl(\int\limits_0^\infty {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(0,x)}(y) \, dy\Bigr) P_X(dx)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_0^\infty \Bigl(\int\limits_0^\infty
{1\hspace{-1mm}{\...
...P_X(dx)\Bigr) \, dy
= \int\limits_0^\infty P_X(\{x:\,x\in\mathbb{R},x>y\})\, dy$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_0^\infty P(X>y)\, dy = \int\limits_0^\infty
(1-F_X(y))\, dy\,.$  


 
  $ \Box$


Korollar 4.1   Sei $ X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine integrierbare Zufallsvariable. Dann gilt

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}X=\int\limits_0^\infty (1-F_X(y))\, dy -\int\limits_{-\infty}^0 F_X(y)\, dy \,.$ (11)

Beweis
$ \;$ Ähnlich wie im Beweis von Theorem 4.2 ergibt sich, dass
$\displaystyle {\mathbb{E}\,}X$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_\mathbb{R}x P_X(dx)
= \int\limits_0^\infty x P_X(dx)+\int\limits_{-\infty}^0 x P_X(dx)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_0^\infty x P_X(dx)-\int\limits_{-\infty}^0 (-x)
P_X(dx) = \int\limits_0^\infty (1-F_X(y))\, dy
-\int\limits_{-\infty}^0 F_X(y)\, dy \,,$  

wobei in der letzten Gleichheit die Formel (10) und die Tatsache genutzt wird, dass
$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^0 (-x) P_X(dx)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_{-\infty}^0
\Bigl(\int\limits_0^\infty {1\hspace{-1mm...
...int\limits_{-\infty}^0
{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(0,-x]}(y)\, P_X(dx)\Bigr)\, dy$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_0^\infty P_X(\{x:\, x\in\mathbb{R}, -x\ge y\})\, dy =
\int\limits_0^\infty P_X(\{x:\, x\in\mathbb{R}, x\le -y\})\, dy$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_0^\infty P(X\le
-y)\, dy = \int\limits_0^\infty F_X(-y)\, dy =
\int\limits_{-\infty}^0 F_X(y)\, dy \,.$  


 
  $ \Box$


Wir zeigen nun noch, dass der in (4) definierte Erwartungswert $ {\mathbb{E}\,}X$ auch in der folgenden Form dargestellt werden kann.

Theorem 4.3   Sei $ X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable, deren Verteilung der Bedingung % latex2html id marker 31650
$ (\ref{abs.int.bed})$ genügt. Dann gilt

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}X=\int_\Omega X(\omega)\, P(d\omega)\,.$ (12)


Beweis
 


Beachte
 


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Ursa Pantle 2004-05-10