Weitere Eigenschaften des Erwartungswertes

Mit Hilfe der Darstellungsformeln des Erwartungswertes, die in Abschnitt 4.1.2 diskutiert wurden, lassen sich weitere Eigenschaften des Erwartungswertes von Zufallsvariablen herleiten.

Theorem 4.4   Seien $X,Y,X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ beliebige Zufallsvariablen über einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$. Dann gilt:

1.

Monotonie:$\;$ Falls $X$ und $Y$ integrierbar sind und falls $X\le Y$ f.s., dann gilt

$${\mathbb{E}\,}X\le {\mathbb{E}\,}Y\,.$$ (14)

Falls $Y$ integrierbar ist und falls $0\le X\le Y$ f.s., dann ist auch $X$ integrierbar, und es gilt $(\ref{mon.eig.erw})$.

2.

Falls $X$ integrierbar ist, dann ist

$$\vert{\mathbb{E}\,}X\vert\le {\mathbb{E}\,}\vert X\vert\,.$$ (15)

3.

Linearität:$\;$ Falls $X$ und $Y$ integrierbar sind, dann ist auch $aX+bY$ integrierbar für beliebige $a,b\in\mathbb{R}$, und es gilt

$${\mathbb{E}\,}(aX+bY) = a{\mathbb{E}\,}X+b{\mathbb{E}\,}Y\,.$$ (16)

4.

monotone Konvergenz:$\;$ Falls $X_n\ge 0$ f.s. für alle $n=1,2,\ldots$ und falls $X_n\uparrow X$ f.s., dann gilt

$${\mathbb{E}\,}X_n\uparrow {\mathbb{E}\,}X\,.$$ (17)

5.

majorisierte Konvergenz und $L_1$-Konvergenz:$\;$ Falls $Y$ integrierbar ist, falls $\vert X_n\vert\le Y$ f.s. für alle $n=1,2,\ldots$ und falls $X_n\to X$ f.s., dann ist auch $X$ integrierbar, und es gilt

$$\lim\limits_{n\to\infty}{\mathbb{E}\,}X_n={\mathbb{E}\,}X$$ (18)

und

$$\lim\limits_{n\to\infty}{\mathbb{E}\,}\vert X_n-X\vert=0\,.$$ (19)

6.

$\;$ Falls $X={1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A$ für ein $A\in\mathcal{F}$, dann gilt

$${\mathbb{E}\,}X=P(A)\,.$$ (20)

7.

$\;$ Falls $X$ integrierbar ist und falls $X\ge 0$ f.s. und ${\mathbb{E}\,}X=0$, dann gilt

$$X=0$$ (21)

Beweis

 

Zu 1)

$\;$ Die Ungleichung (14) ergibt sich unmittelbar aus der Integral-Darstellung (12) des Erwartungswertes und aus der entsprechenden Monotonie-Eigenschaft des Lebesgue-Integrals in (12). Die andere Teilaussage von 1. ergibt sich auf die gleiche Weise.

Zu 2)

$\;$ Weil mit $X$ offenbar auch $\vert X\vert$ bzw. $-\vert X\vert$ integrierbar sind und weil $X\le\vert X\vert$ bzw. $-\vert X\vert\le X$, ergibt sich aus (14), dass

$${\mathbb{E}\,}X\le{\mathbb{E}\,}\vert X\vert$$   bzw.$$\qquad-{\mathbb{E}\,}\vert X\vert={\mathbb{E}\,}(-\vert X\vert)\le {\mathbb{E}\,}X\,,$$

wobei sich die Gleichheit aus der Linearität des Lebesgue-Integrals ergibt.

Zu 3)

$\;$ Die Integrierbarkeit von $aX+bY$ ergibt sich unmittelbar aus der Ungleichung

$$\vert aX+bY\vert\le \vert a\vert\vert X\vert+\vert b\vert\vert Y\vert\,,$$

aus (14) und aus der Linearität des Lebesgue-Integrals, denn es gilt

$${\mathbb{E}\,}\vert aX+bY\vert\le {\mathbb{E}\,}(\vert a\vert\ver... ...ert{\mathbb{E}\,}\vert X\vert+\vert b\vert{\mathbb{E}\,}\vert Y\vert<\infty\,.$$

Die Gültigkeit von (16) folgt dann ebenfalls aus der Linearität des Lebesgue-Integrals.

Zu 4/5)

$\;$ Diese Teilaussagen ergeben sich unmittelbar aus dem Sätzen über die monotone bzw. majorisierte Konvergenz von Lebesgue-Integralen.

Zu 6)

$\;$ Falls $X={1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A$ für ein $A\in\mathcal{F}$, dann ergibt sich aus der Darstellungsformel (6) für den Erwartungswert diskreter Verteilungen, dass

$${\mathbb{E}\,} X={\mathbb{E}\,}{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A=0\cdot P({1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A=0)+1\cdot P({1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A=1)=P(A)\,,$$

vgl. auch den ersten Teil des Beweises von Theorem 4.3.

Zu 7)

$\;$ Sei $X$ integrierbar, und es gelte $X\ge 0$ f.s. und ${\mathbb{E}\,}X=0$. Wir führen einen indirekten Beweis und nehmen an, dass $P(X>0)>0$. Wegen der Stetigkeitseigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen (vgl. Theorem 2.3) gilt dann auch $P(X>\varepsilon)>0$ für ein $\varepsilon>0$. Hieraus und aus (14) folgt, dass

$${\mathbb{E}\,}X\ge {\mathbb{E}\,} (X{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{X>... ...{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{X>\varepsilon\}} =\varepsilon P(X>\varepsilon)>0\,.$$

Dies ist aber im Widerspruch zu ${\mathbb{E}\,}X=0$.

$\Box$

Korollar 4.2   Sei $n\in\mathbb{N}$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene natürliche Zahl, und seien $X_1,\ldots,X_n$ beliebige Zufallsvariablen mit ${\mathbb{E}\,}\vert X_1\vert<\infty,\ldots,{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert<\infty$. Dann gilt für beliebige Konstanten $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$

$${\mathbb{E}\,}(a_1\,X_1+\ldots+a_n\,X_n)=a_1\,{\mathbb{E}\,}X_1+\ldots+a_n\,{\mathbb{E}\,}X_n\,.$$ (22)

Beweis

$\;$ Die Behauptung ergibt sich aus (16) mittels vollständiger Induktion.

Beispiel

$\;$ (wiederholtes Würfeln)

• Betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ),P)$, der in Abschnitt 4.1.1 eingeführt worden ist.
• Betrachten die Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\{1,2,\ldots,6\}$, wobei $X_i$ die zufällige Augenzahl ist, die beim $i$-ten Würfeln erzielt wird.
• Dann gilt
  $${\mathbb{E}\,}X_i=\sum\limits_{j=1}^6 j\,P(X_i=j)=\frac{1}{6}\sum\limits_{j=1}^6 j=3.5\,.$$

• Aus Korollar 4.2 ergibt sich dann für den Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}Y_n$ der mittleren Augenzahl $Y_n=n^{-1}(X_1+\ldots+X_n)$ bei $n$-maligem Würfeln
  

  $${\mathbb{E}\,}Y_n = {\mathbb{E}\,}\Bigl(\frac{1}{n}(X_1+\ldots+X_n)\Bigr)$$

  $$= \frac{1}{n}\,({\mathbb{E}\,}X_1+\ldots+{\mathbb{E}\,}X_n)$$

  $$= \frac{1}{n}\;n\, 3.5 = 3.5\,.$$