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Definition und Berechnungsformeln
Bevor wir zur allgemeinen Definition des Erwartungswertes kommen,
wollen wir die intuitive Bedeutung dieses Begriffes anhand des
folgenden Beispiels erläutern.
- Beispiel
- (wiederholtes Würfeln)
- Betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum
mit der Grundmenge
der Produkt--Algebra
und dem Wahrscheinlichkeitsmaß , das durch
gegeben ist;
;
;
.
- Betrachten die Zufallsvariablen
, die gegeben seien durch die
Projektion
für
.
D.h., ist die (zufällige) Augenzahl, die beim
-ten Wurf erzielt wird.
- Es ist nicht schwierig zu zeigen,
dass
unabhängige (und identisch verteilte)
Zufallsvariablen sind.
- Betrachten die Zufallsvariable
d.h. die mittlere Augenzahl
bei -maligem Würfeln.
- Man kann zeigen, dass es eine ,,nichtzufällige'' Zahl
gibt,
so dass
|
(1) |
wobei
|
(2) |
- Die Formeln (1) und (2) bedeuten:
Falls die Anzahl der durchgeführten Versuche immer größer
wird, dann
- werden die Werte
der mittleren Augenzahl immer weniger
von der jeweiligen Ausprägung des Zufalls beeinflusst,
- strebt das ,,Zeitmittel'' bei Versuchen gegen das
,, Scharmittel'' c jedes (einzelnen) Versuches.
- Die Formeln (1) und (2) sind
ein Spezialfall des sogenannten Gesetzes
der großen Zahlen, das im weiteren Verlauf der Vorlesung noch
genauer diskutiert wird.
- Das Scharmittel in (2) wird Erwartungswert der
Zufallsvariablen genannt und mit
bezeichnet.
Auf analoge Weise wird der Begriff des Erwartungswertes für
beliebige Zufallsvariablen eingeführt.
- Definition
- Sei
ein beliebiger
Wahrscheinlichkeitsraum, und sei
eine beliebige
Zufallsvariable mit
|
(3) |
Dann heißt die Zufallsvariable integrierbar, und
der Erwartungswert
von wird durch das folgende
(Lebesgue-) Integral definiert:
|
(4) |
- Beachte
- Der in (4) definierte
Erwartungswert
von integrierbaren Zufallsvariablen
kann auch als Lebesgue-Stieltjes-Integral bezüglich der
Verteilungsfunktion von eingeführt werden. Und zwar
gilt:
|
(5) |
Aus der Definitionsgleichung (4) des
Erwartungswertes ergibt sich ohne weiteres, wie diese
Definitionsgleichung für diskrete bzw. absolutstetige
Zufallsvariablen spezifiziert werden kann.
Theorem 4.1
Sei
eine beliebige
Zufallsvariable.
- 1.
- Falls diskret ist
mit
für eine abzählbare Menge
, dann ist der Erwartungswert
von
durch das gewichtete Mittel
|
(6) |
gegeben, wobei vorausgesetzt wird, dass
|
(7) |
- 2.
- Falls absolutstetig ist
mit der Dichte , dann ist der Erwartungswert
von
durch das Integral
|
(8) |
gegeben, wobei vorausgesetzt wird, dass
|
(9) |
- Beweis
-
- Sei diskret mit
für eine abzählbare Menge
.
- Dann gilt
- Hieraus und aus (4) folgt (6).
- Sei nun absolutstetig mit der Dichte .
- Aus (3.13) ergibt sich dann, dass
- Hieraus und aus (4) folgt dann (8).
- Beachte
-
- Beispiele
-
Wir zeigen nun anhand zweier Beispiele, wie
die Formeln (6) und (8) bei der praktischen Bestimmung des
Erwartungswertes genutzt werden können.
- Binomialverteilung
Sei binomialverteilt mit den Parametern
und
. Dann ergibt sich aus (6), dass
- Normalverteilung
Sei normalverteilt mit den Parametern
und .
Dann ist integrierbar, d.h.,
denn es gilt
wobei in der letzten Gleichheit genutzt wurde, dass
Aus (8) ergibt sich nun, dass
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Ursa Pantle
2004-05-10