Definition und Berechnungsformeln

Bevor wir zur allgemeinen Definition des Erwartungswertes kommen, wollen wir die intuitive Bedeutung dieses Begriffes anhand des folgenden Beispiels erläutern.

Beispiel

$\;$ (wiederholtes Würfeln)

• Betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ mit der Grundmenge
  $$\Omega =\Omega _1\times\Omega _2\times\ldots =\left\{\omega: \omega=(\omega_1,\omega_2,\ldots,),\, \omega _{i}\in \{1,2,\ldots,6\}\right\}\,,$$
  der Produkt-$\sigma$-Algebra $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega_1)\otimes\mathcal{P}(\Omega_2)\otimes\ldots$ und dem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$, das durch
  $$P(\{\omega:\omega\in\Omega,\omega_{i_1}=j_1,\ldots, \omega_{i_k}=j_k\})=\frac{1}{6^k}$$
  gegeben ist; $k\in\mathbb{N}$; $1\le i_1<\ldots<i_k$; $j_1,\ldots,j_k\in\{1,2,\ldots,6\}$.
• Betrachten die Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$, die gegeben seien durch die Projektion $X_i(\omega)=\omega_i$ für $i=1,2,\ldots$. D.h., $X_i$ ist die (zufällige) Augenzahl, die beim $i$-ten Wurf erzielt wird.

• Es ist nicht schwierig zu zeigen, dass $X_1,X_2,\ldots$ unabhängige (und identisch verteilte) Zufallsvariablen sind.
• Betrachten die Zufallsvariable
  $$Y_n=\frac{1}{n}(X_1+\ldots+X_n)\,,$$
  d.h. die mittlere Augenzahl bei $n$-maligem Würfeln.
• Man kann zeigen, dass es eine ,,nichtzufällige'' Zahl $c\in\mathbb{R}$ gibt, so dass

  $$P(\{\omega:\lim_{n\to\infty} Y_n(\omega)=c\})=1\,,$$ (1)

  
  
  wobei

  $$c=\sum_{i=1}^6 i\,P(X_1=i)=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 i=3.5\,.$$ (2)

  
  

• Die Formeln (1) und (2) bedeuten: Falls die Anzahl $n$ der durchgeführten Versuche immer größer wird, dann
  • werden die Werte $Y_n(\omega)$ der mittleren Augenzahl $Y_n$ immer weniger von der jeweiligen Ausprägung $\omega$ des Zufalls beeinflusst,
  • strebt das ,,Zeitmittel'' $Y_n$ bei $n$ Versuchen gegen das ,, Scharmittel'' c jedes (einzelnen) Versuches.
• Die Formeln (1) und (2) sind ein Spezialfall des sogenannten Gesetzes der großen Zahlen, das im weiteren Verlauf der Vorlesung noch genauer diskutiert wird.
• Das Scharmittel $c$ in (2) wird Erwartungswert der Zufallsvariablen $X_1$ genannt und mit ${\mathbb{E}\,}X_1$ bezeichnet.

Auf analoge Weise wird der Begriff des Erwartungswertes für beliebige Zufallsvariablen eingeführt.

Definition

$\;$ Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit

$$\int_\mathbb{R}\vert x\vert\, P_X(dx)<\infty\,.$$ (3)

Dann heißt die Zufallsvariable $X$ integrierbar, und der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ von $X$ wird durch das folgende (Lebesgue-) Integral definiert:

$${\mathbb{E}\,}X=\int_\mathbb{R}x\, P_X(dx)\,.$$ (4)

Beachte

$\;$ Der in (4) definierte Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ von integrierbaren Zufallsvariablen $X$ kann auch als Lebesgue-Stieltjes-Integral bezüglich der Verteilungsfunktion $F_X$ von $X$ eingeführt werden. Und zwar gilt:

$${\mathbb{E}\,}X=\int\limits_{-\infty}^\infty x\, dF_X(x)\,.$$ (5)

Aus der Definitionsgleichung (4) des Erwartungswertes ergibt sich ohne weiteres, wie diese Definitionsgleichung für diskrete bzw. absolutstetige Zufallsvariablen spezifiziert werden kann.

Theorem 4.1   Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable.

1.

Falls $X$ diskret ist mit $P(X\in C) =1$ für eine abzählbare Menge $C\subset \mathbb{R}$, dann ist der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ von $X$ durch das gewichtete Mittel

$${\mathbb{E}\,}X= \sum _{x\in C}xP(X=x)$$ (6)

gegeben, wobei vorausgesetzt wird, dass

$$\sum\limits _{x\in C}\vert x\vert P(X=x)<\infty\,.$$ (7)

2.

Falls $X$ absolutstetig ist mit der Dichte $f_X(x)$, dann ist der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ von $X$ durch das Integral

$${\mathbb{E}\,}X=\int\limits ^{\infty}_{-\infty} x f_X(x)\, dx$$ (8)

gegeben, wobei vorausgesetzt wird, dass

$$\int\limits ^{\infty}_{-\infty} \vert x\vert f_X(x)\, dx<\infty\,.$$ (9)

Beweis

 

• Sei $X$ diskret mit $P(X\in C) =1$ für eine abzählbare Menge $C\subset \mathbb{R}$.
• Dann gilt
  $$P_X(B)=\sum\limits_{x\in B\cap C} P(X=x)\qquad \forall\, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}).$$

• Hieraus und aus (4) folgt (6).
• Sei nun $X$ absolutstetig mit der Dichte $f_X(x)$.
• Aus (3.13) ergibt sich dann, dass
  $$P_X(B)=\int\limits_B f_X(x)\, dx \qquad \forall\, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}).$$

• Hieraus und aus (4) folgt dann (8).
  
  $\Box$

Beachte

 

• Die Summe in (7) bzw. das Integral in (9) kann man als Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert$ der Zufallsvariablen $\vert X\vert$ auffassen, vgl. auch den Transformationssatz für Erwartungswerte in Abschnitt 4.2.2.
• Man kann sich leicht Beispiele überlegen, bei denen die Summierbarkeitsbedingung (7) bzw. die Integrierbarkeitsbedingung (9) verletzt ist.
• Falls die Zufallsgröße $X$ nur nichtnegative Werte annimmt, d.h. $P(X\ge 0)=1$, dann kann man den Begriff des Erwartungswertes auch einführen, wenn die Bedingung (7) bzw. (9) nicht erfüllt ist.
• In diesem Fall wird ${\mathbb{E}\,}X=\infty$ gesetzt.
• Sei $X$ beispielsweise eine absolutstetige Zufallsvariable mit der Dichte
  $$f_X(x)=\frac{1}{\pi(x^2+1)}\qquad\forall x\in\mathbb{R}\,,$$
  d.h. $X$ ist Cauchy-verteilt, vgl. Abschnitt 3.4.4.
• Dann gilt zwar $P(0<\vert X\vert<\infty)=1$, jedoch
  

  $${\mathbb{E}\,}\vert X\vert = \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert x\vert\frac{1}{ \pi (1+x^{2})}\, dx$$

  $$> \int\limits ^{\infty }_{0}\frac{x}{\pi (1+x^{2})}\, dx$$

  $$= \frac{1}{\pi }\lim _{t\to\infty} \left[\frac{1}{2}\log (1+x^{2})\right]_{0}^{t} =\frac{1}{2\pi }\lim _{t\to\infty}\log (1+t^{2})=\infty\,.$$

  
  

Beispiele

$\;$ Wir zeigen nun anhand zweier Beispiele, wie die Formeln (6) und (8) bei der praktischen Bestimmung des Erwartungswertes genutzt werden können.

1. Binomialverteilung
   Sei $X$ binomialverteilt mit den Parametern $n\in\mathbb{N}$ und $p\in[0,1]$. Dann ergibt sich aus (6), dass
   

   $${\mathbb{E}\,}X = \sum\limits _{i=1}^n i {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}$$

   $$= n\, p\sum\limits _{i=1}^n {n-1\choose i-1}p^{i-1}(1-p)^{(n-1)-(i-1)}$$

   $$= n\, p\sum\limits _{i=0}^{n-1} {n-1\choose i}p^i(1-p)^{n-1-i}$$

   $$= n\, p\; (p+(1-p))^{n-1}=n\, p\,.$$

   
   

2. Normalverteilung
   Sei $X$ normalverteilt mit den Parametern $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma>0$. Dann ist $X$ integrierbar, d.h.,
   $$\int\limits^{\infty}_{-\infty} \vert x\vert f_X(x)\, dx<\infty\,,$$
   denn es gilt
   

   $${ \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert x\vert \exp \Bigl(-\frac{1}{2}\, \Bigl( \frac{x-\mu }{\sigma } \Bigr)^{2}\Bigr)\, dx}$$

   $$= \int\limits_0^{\infty }x \exp \Bigl(-\frac{1}{2}\, \Bigl( \frac{x... ... x \exp \Bigl(-\frac{1}{2}\, \Bigl( \frac{x-\mu }{\sigma} \Bigr)^{2}\Bigr)\, dx$$

   $$= \sigma \int\limits ^{\infty }_{-\mu/\sigma} (\sigma v+\mu )\exp \... ...\mu/\sigma}_{-\infty } (\sigma v+\mu )\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v^{2}\Bigr)\, dv$$

   $$\le 2\sigma^2 \int\limits ^{\infty }_0 v\, \exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v... ...a\mu \int\limits ^{\infty }_{-\infty} \exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v^{2}\Bigr)\, dv$$

   $$= 2\sigma^2 +\sigma\mu\sqrt{2\pi}\,,$$

   
   
   wobei in der letzten Gleichheit genutzt wurde, dass
   

   $$\Bigl(\int\limits ^{\infty }_{-\infty} \exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v^{2}\Bigr)\, dv\Bigr)^2 = \int\limits ^{\infty }_{-\infty}\int\limits ^{\infty }_{-\infty} \exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,\bigl(x^2+y^{2}\bigr)\Bigr)\, dx\, dy$$

   $$= \int\limits ^{2\pi }_0\int\limits ^{\infty }_0 r\,\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,r^{2}\Bigr)\, dr\, d\varphi =2\pi\,.$$

   
   
   Aus (8) ergibt sich nun, dass
   

   $${\mathbb{E}\,}X = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }} \int\limits ^{\infty }_{-\infty }x \exp \Bigl(-\frac{1}{2}\, \Bigl( \frac{x-\mu }{\sigma } \Bigr)^{2}\Bigr)\, dx$$

   $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits ^{\infty }_{-\infty } (\sigma v+\mu )\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v^{2}\Bigr)\, dv$$

   $$= \frac{\sigma }{\sqrt{2\pi }} \underbrace{\int\limits ^{\infty }_{... ... }_{-\infty } \exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v^{2}\Bigr)\, dv}_{=\sqrt{2\pi }}=\mu\,.$$