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Definition und Berechnungsformeln

Bevor wir zur allgemeinen Definition des Erwartungswertes kommen, wollen wir die intuitive Bedeutung dieses Begriffes anhand des folgenden Beispiels erläutern.


Beispiel
$ \;$ (wiederholtes Würfeln)


Auf analoge Weise wird der Begriff des Erwartungswertes für beliebige Zufallsvariablen eingeführt.

Definition
$ \;$ Sei $ (\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und sei $ X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit

$\displaystyle \int_\mathbb{R}\vert x\vert\, P_X(dx)<\infty\,.$ (3)

Dann heißt die Zufallsvariable $ X$ integrierbar, und der Erwartungswert $ {\mathbb{E}\,}X$ von $ X$ wird durch das folgende (Lebesgue-) Integral definiert:

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}X=\int_\mathbb{R}x\, P_X(dx)\,.$ (4)


Beachte
$ \;$ Der in (4) definierte Erwartungswert $ {\mathbb{E}\,}X$ von integrierbaren Zufallsvariablen $ X$ kann auch als Lebesgue-Stieltjes-Integral bezüglich der Verteilungsfunktion $ F_X$ von $ X$ eingeführt werden. Und zwar gilt:

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}X=\int\limits_{-\infty}^\infty x\, dF_X(x)\,.$ (5)


Aus der Definitionsgleichung (4) des Erwartungswertes ergibt sich ohne weiteres, wie diese Definitionsgleichung für diskrete bzw. absolutstetige Zufallsvariablen spezifiziert werden kann.


Theorem 4.1   Sei $ X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable.
1.
Falls $ X$ diskret ist mit $ P(X\in C) =1$ für eine abzählbare Menge $ C\subset \mathbb{R}$, dann ist der Erwartungswert $ {\mathbb{E}\,}X$ von $ X$ durch das gewichtete Mittel

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}X= \sum _{x\in C}xP(X=x)$ (6)

gegeben, wobei vorausgesetzt wird, dass

$\displaystyle \sum\limits _{x\in C}\vert x\vert P(X=x)<\infty\,.$ (7)

2.
Falls $ X$ absolutstetig ist mit der Dichte $ f_X(x)$, dann ist der Erwartungswert $ {\mathbb{E}\,}X$ von $ X$ durch das Integral

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}X=\int\limits ^{\infty}_{-\infty} x f_X(x)\, dx$ (8)

gegeben, wobei vorausgesetzt wird, dass

$\displaystyle \int\limits ^{\infty}_{-\infty} \vert x\vert f_X(x)\, dx<\infty\,.$ (9)

Beweis
 


Beachte
 
Beispiele
$ \;$ Wir zeigen nun anhand zweier Beispiele, wie die Formeln (6) und (8) bei der praktischen Bestimmung des Erwartungswertes genutzt werden können.
  1. Binomialverteilung
    Sei $ X$ binomialverteilt mit den Parametern $ n\in\mathbb{N}$ und $ p\in[0,1]$. Dann ergibt sich aus (6), dass
    $\displaystyle {\mathbb{E}\,}X$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^n i {n\choose
i}p^i(1-p)^{n-i}$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle n\, p\sum\limits _{i=1}^n {n-1\choose
i-1}p^{i-1}(1-p)^{(n-1)-(i-1)}$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle n\, p\sum\limits _{i=0}^{n-1} {n-1\choose
i}p^i(1-p)^{n-1-i}$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle n\, p\; (p+(1-p))^{n-1}=n\, p\,.$  

  2. Normalverteilung
    Sei $ X$ normalverteilt mit den Parametern $ \mu\in\mathbb{R}$ und $ \sigma>0$. Dann ist $ X$ integrierbar, d.h.,

    $\displaystyle \int\limits^{\infty}_{-\infty} \vert x\vert f_X(x)\, dx<\infty\,,
$

    denn es gilt
    $\displaystyle {
\int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert x\vert
\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,
\Bigl( \frac{x-\mu }{\sigma } \Bigr)^{2}\Bigr)\, dx}$
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_0^{\infty }x
\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,
\Bigl( \frac{x...
... x
\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,
\Bigl( \frac{x-\mu }{\sigma} \Bigr)^{2}\Bigr)\, dx$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma \int\limits ^{\infty }_{-\mu/\sigma}
(\sigma v+\mu )\exp \...
...\mu/\sigma}_{-\infty }
(\sigma v+\mu )\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v^{2}\Bigr)\, dv$  
      $\displaystyle \le$ $\displaystyle 2\sigma^2 \int\limits ^{\infty }_0
v\, \exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v...
...a\mu \int\limits ^{\infty
}_{-\infty}
\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v^{2}\Bigr)\, dv$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sigma^2
+\sigma\mu\sqrt{2\pi}\,,$  

    wobei in der letzten Gleichheit genutzt wurde, dass
    $\displaystyle \Bigl(\int\limits ^{\infty
}_{-\infty}
\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v^{2}\Bigr)\, dv\Bigr)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits ^{\infty
}_{-\infty}\int\limits ^{\infty
}_{-\infty}
\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,\bigl(x^2+y^{2}\bigr)\Bigr)\, dx\, dy$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits ^{2\pi
}_0\int\limits ^{\infty
}_0
r\,\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,r^{2}\Bigr)\, dr\, d\varphi
=2\pi\,.$  

    Aus (8) ergibt sich nun, dass
    $\displaystyle {\mathbb{E}\,}X$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}
\int\limits ^{\infty }_{-\infty }x
\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,
\Bigl( \frac{x-\mu }{\sigma } \Bigr)^{2}\Bigr)\, dx$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits ^{\infty }_{-\infty }
(\sigma v+\mu )\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v^{2}\Bigr)\, dv$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{2\pi }}
\underbrace{\int\limits ^{\infty }_{...
... }_{-\infty }
\exp \Bigl(-\frac{1}{2}\,v^{2}\Bigr)\, dv}_{=\sqrt{2\pi
}}=\mu\,.$  


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Ursa Pantle 2004-05-10