Integral-Darstellung mittels Quantilfunktion

Die folgenden beiden Eigenschaften von verallgemeinerten inversen Funktionen führen zu einer weiteren nützlichen Integral-Darstellung des Erwartungswertes.

Lemma 4.1   Sei $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ eine nichtfallende und rechtsseitig stetige Funktion, und sei $F^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ die verallgemeinerte inverse Funktion mit

$$F^{-1}(y)=\inf\{x:\, F(x)\ge y\}\,,$$ (23)

wobei $\inf\emptyset=\infty$ gesetzt wird. Dann gilt:

1.

$\;$ $F^{-1}$ ist nichtfallend.

2.

$\;$ Es gilt $y\le F(x)$ genau dann, wenn $F^{-1}(y)\le x$.

Beweis

 

• Die erste Teilaussage ergibt sich unmittelbar aus der Definitionsgleichung (23).
• Außerdem ergibt sich sofort aus (23), dass $F^{-1}(y)\le x$, falls $y\le F(x)$.
• Sei nun $F^{-1}(y)\le x$. Wegen der Monotonie von $F$ gibt es dann eine Folge $\{x_n\}$ derart, dass $x_n\downarrow x$ und $F(x_n)\ge y$ für jedes $n$. Hieraus und aus der rechtsseitigen Stetigkeit von $F$ folgt, dass $F(x)\ge y$.
  
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Definition

$\;$ Die verallgemeinerte inverse Funktion $F_X^{-1}$ der Verteilungsfunktion $F_X$ einer beliebigen Zufallsvariable $X:\Omega\to\mathbb{R}$ heißt Quantilfunktion von $X$.

Lemma 4.2   Seien $v,w:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ zwei nichtfallende und rechtsseitig stetige Funktionen. Für jede Zufallsvariable $X:\Omega\to\mathbb{R}$ gilt dann für fast jedes $y\in[0,1]$

$$F_{v(X)+w(X)}^{-1}(y)=F_{v(X)}^{-1}(y)+F_{w(X)}^{-1}(y)\,.$$ (24)

Beweis

 

• Für beliebige Funktionen $x(t)$, $x^\prime(t)$ bezeichne $x\circ x^\prime(t)$ die zusammengesetzte Abbildung $x(x^\prime(t))$.
• Dann gilt $F^{-1}_{v(X)}(y)=v\circ F^{-1}_X(y)$ für fast jedes $y\in[0,1]$, denn aus der zweiten Teilaussage von Lemma 4.1 ergibt sich, dass für fast jedes $y\in[0,1]$ und $x\in\mathbb{R}$
  

  $$F_{v(X)}^{-1}(y)\le x \Longleftrightarrow F_{v(X)}(x)\ge y \Longleftrightarrow P(v(X)\le x)\ge y$$

  $$\Longleftrightarrow P(X\le v^{-1}(x))\ge y\Longleftrightarrow F_X(v^{-1}(x))\ge y$$

  $$\Longleftrightarrow F_X^{-1}(y)\le v^{-1}(x) \Longleftrightarrow v(F_X^{-1}(y))\le x\,.$$

  
  

• Auf die gleiche Weise ergibt sich, dass $F^{-1}_{w(X)}(y)=w\circ F^{-1}_X(y)$ und $F^{-1}_{(v+w)(X)}(y)=(v+w)\circ F^{-1}_X(y)$ für fast jedes $y\in[0,1]$.
• Hieraus folgt, dass für fast jedes $y\in[0,1]$
  $$F^{-1}_{v(X)+w(X)}(y)=(v+w)\circ F^{-1}_X(y)=v\circ F^{-1}_X(y)+w\circ F^{-1}_X(y)=\bigl(F^{-1}_{v(X)}+F^{-1}_{w(X)}\bigr)(y)\,.$$

• Damit ist (24) bewiesen.
  
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Theorem 4.5   Falls $X$ integrierbar ist, dann lässt sich ${\mathbb{E}\,}X$ darstellen in der Form

$${\mathbb{E}\,}X=\int\limits_0^1 F_X^{-1}(y)\, dy\,,$$ (25)

wobei $F_X^{-1}(y)=\inf\{x:\, F_X(x)\ge y\}$ die verallgemeinerte inverse Funktion der Verteilungsfunktion $F_X$ ist.

Beweis

 

• Sei zunächst $X\ge 0$. Dann ist auch $F_X^{-1}(y)\ge 0$ für alle $y\in(0,1)$,
• und es gilt
  

  $$\int\limits_0^1 F_X^{-1}(x)\, dx = \int\limits_0^1 \int\limits_0^\infty {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(0,... ..._0^\infty \int\limits_0^1 {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(0,F_X^{-1}(x))}(y)\,dx\, dy$$

  $$= \int\limits_0^\infty \int\limits_0^1 {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(F_X(y),1)}(x)\,dx\, dy = \int\limits_0^\infty (1-F_X(y))\, dy ={\mathbb{E}\,}X\,,$$

  
  
  wobei sich die letzte Gleichheit aus (10) ergibt.
• Falls $X\le 0$, dann ergibt sich auf analoge Weise, dass
  

  $$\int\limits_0^1 F_X^{-1}(x)\, dx = -\int\limits_0^1 \int\limits_{-\infty}^0 {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_... ...-\infty}^0 \int\limits_0^1{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(F_X^{-1}(x),0)}(y)\,dx\, dy$$

  $$= -\int\limits_{-\infty}^0 \int\limits_0^1{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(0,F_X(y))}(x)\,dx\, dy = -\int\limits_{-\infty}^0 F_X(y)\, dy ={\mathbb{E}\,}X\,.$$

  
  

• Für beliebige integrierbare Zufallsvariablen $X$ erhalten wir (25) nun mittels der Zerlegung $X=X^+-X^-$, denn aus Lemma 4.2 ergibt sich, dass
  

  $$\int\limits_0^1 F_X^{-1}(x)\, dx = \int\limits_0^1 F_{X^+-X^-}^{-1}(x)\, dx = \int\limits_0^1 (F_{X^+}^{-1}(x)+F_{-X^-}^{-1}(x))\, dx$$

  $$= \int\limits_0^1 F_{X^+}^{-1}(x)\, dx + \int\limits_0^1 F_{-X^-}^{-1}(x)\, dx$$

  $$= {\mathbb{E}\,}X^+ + {\mathbb{E}\,}(-X^-) ={\mathbb{E}\,}(X^+ -X^-)={\mathbb{E}\,}X\,,$$

  
  
  wobei sich die vorletzte Gleichheit aus der Linearitätseigenschaft (16) des Erwartungswertes ergibt.
  
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