Definition und elementare Eigenschaften

Beachte

 

• Es ist klar, dass der in (4) definierte Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ eindeutig durch die Verteilung $P_X$ der Zufallsvariablen $X$ bestimmt wird.
• In Theorem 4.1 hatten wir darüber hinaus gezeigt, dass der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ einer diskreten bzw. absolutstetigen Zufallsvariablen $X$ eindeutig durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. die Dichte von $X$ bestimmt wird.
• Umgekehrt ist jedoch im allgemeinen die Verteilung $P_X$ nicht eindeutig durch den Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ von $X$ festgelegt.
• Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. die Dichte einer diskreten bzw. absolutstetigen Zufallsvariablen $X$ nicht eindeutig durch den Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ von $X$ festgelegt.

Beispiel

$\;$ (symmetrische diskrete Gleichverteilung)

• Sei $n\in\mathbb{N}$ eine beliebige natürliche Zahl und $X:\Omega\to\{-n,\ldots,-1,0,1,\ldots,n\}$ eine diskrete Zufallsvariable mit $P(X=i)=(2n+1)^{-1}$ für jedes $i\in\{-n,\ldots,n\}$.
• Dann gilt
  $${\mathbb{E}\,}X=\frac{1}{2n+1}\sum ^{n}_{i=-n}i =\frac{1}{2n+1}\cdot 0=0\,.$$

• Während der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ also nicht von $n$ abhängt, sind die Werte von $X$ mit wachsendem $n$ immer breiter um ${\mathbb{E}\,}X$ gestreut.
• Eine Charakteristik, die den Streuungsgrad der Werte von $X$ um den Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ misst, ist die erwartete quadratische Abweichung ${\mathbb{E}\,}\bigl((X-{\mathbb{E}\,}X)^2\bigr)$ vom Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$, genannt Varianz von $X$, die bei diesem Beispiel gegeben ist durch
  $${\mathbb{E}\,}\bigl((X-{\mathbb{E}\,}X)^2\bigr)=\sum\limits _{i=-... ...i^2\frac{1}{2n+1} = 2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\frac{1}{2n+1} =\frac{n(n+1)}{3}\,.$$

Beachte

 

• Der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X$ der Zufallsvariablen $X$ wird manchmal auch das erste Moment von $X$ genannt.
• Völlig analog lassen sich die Begriffe der Varianz bzw. der höheren Momente einer beliebigen Zufallsvariable $X$ einführen,
• und zwar durch die Betrachtung des Erwartungswertes ${\mathbb{E}\,}\varphi(X)$ entsprechend gewählter Funktionen $\varphi(X)$ von $X$.

Definition

 

• Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit ${\mathbb{E}\,}(X^2)<\infty$.
• Betrachten die Abbildung $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $\varphi(x)=(x-{\mathbb{E}\,}X)^2$.
• Dann heißt der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}\varphi(X)$ der Zufallsvariablen $\varphi(X)$ die Varianz von $X$
  (Schreibweise: ${\rm Var\,}X$).
• Für die Varianz von $X$ gilt also

  $${\rm Var\,}X={\mathbb{E}\,}\Bigl((X-{\mathbb{E}\,}X)^2\Bigr)\;.$$ (26)

  
  

Beachte

 

• Die höheren Momente von Zufallsvariablen werden völlig analog definiert.
• Und zwar sei $k\in\mathbb{N}$ und $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit ${\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^k)<\infty$.
• Betrachten die Abbildung $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $\varphi(x)=x^k$. Dann heißt der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}\varphi(X)={\mathbb{E}\,}(X^k)$ von $\varphi(X)$ das $k$-te Moment von $X$.
• Betrachten die Abbildung $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $\varphi(x)=(x-{\mathbb{E}\,}X)^k$. Dann heißt der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}\varphi(X)={\mathbb{E}\,}\bigl((X-{\mathbb{E}\,}X)^k\bigr)$ von $\varphi(X)$ das $k$-te zentrale Moment von $X$.
• Die Varianz ${\rm Var\,}X$ ist also das 2. zentrale Moment von $X$.
• $\sqrt{{\rm Var\,}X}$ heißt Standardabweichung von $X$.

Die folgenden elementaren Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definitonsgleichung (26) der Varianz und aus der Linearität des Erwartungswertes, vgl. Formel (16) in Theorem 4.4.

Theorem 4.6   Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit ${\mathbb{E}\,}(X^2)<\infty$. Dann gilt

$${\rm Var\,}X={\mathbb{E}\,}(X^2)-({\mathbb{E}\,}X)^2\,,$$ (27)

und für beliebige $a,b\in\mathbb{R}$

$${\rm Var\,}(aX+b)=a^2{\rm Var\,}X\,.$$ (28)

Beweis

 

• Aus der Definitionsgleichung (26) der Varianz und aus der Linearität des Erwartungswertes ergibt sich, dass
  

  $${\rm Var\,}X = {\mathbb{E}\,}\Bigl((X-{\mathbb{E}\,}X)^2\Bigr)={\mathbb{E}\,}\bigl(X^2-2X{\mathbb{E}\,}X+({\mathbb{E}\,} X)^2\bigr)$$

  $$= {\mathbb{E}\,}(X^2)-{\mathbb{E}\,}(2X{\mathbb{E}\,}X)+{\mathbb{E}\,}\bigl(({\mathbb{E}\,} X)^2\bigr)$$

  $$= {\mathbb{E}\,}(X^2)-2\,{\mathbb{E}\,}X{\mathbb{E}\,}X+({\mathbb{E}\,} X)^2$$

  $$= {\mathbb{E}\,}(X^2)-({\mathbb{E}\,}X)^2\,.$$

  
  

• Damit ist (27) bewiesen.
• Auf analoge Weise ergibt sich aus (27), dass
  

  $${\rm Var\,}(aX+b) = {\mathbb{E}\,}\bigl((aX+b)^2\bigr)-\bigl({\mathbb{E}\,}(aX+b)\bigr)^2$$

  $$= {\mathbb{E}\,}\bigl((aX)^2+2abX+b^2\bigr)-\bigl(a\,{\mathbb{E}\,}X+b\bigr)^2$$

  $$= a^2{\mathbb{E}\,}(X^2)+2ab\,{\mathbb{E}\,}X+b^2-a^2({\mathbb{E}\,}X)^2-2ab\,{\mathbb{E}\,} X-b^2$$

  $$= a^2\bigl({\mathbb{E}\,}(X^2)-({\mathbb{E}\,}X)^2\bigr)$$

  $$= a^2{\rm Var\,}X\,.$$

  
  

• Damit ist auch (28) bewiesen.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Zufallsvariable mit ${\mathbb{E}\,}(X^2)<\infty$.
• Dann gilt ${\rm Var\,}X=0$ genau dann, wenn

  $$P(X={\mathbb{E}\,}X)=1\,.$$ (29)

  
  

• Dies kann man sich folgendermaßen überlegen.
• Sei ${\rm Var\,}X=0$, d.h., der Erwartungswert der nichtnegativen Zufallsvariablen $(X-{\mathbb{E}\,}X)^2$ ist Null.
• Aus Teilaussage 7 von Theorem 4.4 ergibt sich dann, dass $(X-{\mathbb{E}\,}X)^2=0$ mit Wahrscheinlichkeit 1, d.h., es gilt $X={\mathbb{E}\,}X$ mit Wahrscheinlichkeit 1.
• Es sei nun die Bedingung (29) erfüllt.
• Dann gilt
  $$1=P(X={\mathbb{E}\,}X)=P(\vert X-{\mathbb{E}\,}X\vert=0)=P((X-{\mathbb{E}\,}X)^2=0)\,.$$

• Hieraus folgt, dass ${\mathbb{E}\,}\bigl((X-{\mathbb{E}\,}X)^2\bigr)=0$, d.h. ${\rm Var\,}X=0$.