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Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix

Wir zeigen zunächst, wie der Begriff der Kovarianz genutzt werden kann, um die in Theorem 4.10 angegebene Additionsformel (41) für die Varianz zu verallgemeinern.

Theorem 4.13   Seien $ X_1,\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}$ beliebige Zufallsvariablen mit $ {\mathbb{E}\,}(X_i^2)<\infty$ für jedes $ i\in\{1,\ldots,n\}$.
1.
$ \;$ Dann gilt

$\displaystyle {\rm Var\,}(X_1+\ldots+X_n)=\sum\limits_{i=1}^n{\rm Var\,}X_i+ 2\sum\limits_{1\le j<k\le n} {\rm Cov\,}(X_j,X_k)\,.$ (53)

2.
$ \;$ Falls die Zufallsvariablen $ X_1,\ldots,X_n$ paarweise unkorreliert sind, dann gilt insbesondere

$\displaystyle {\rm Var\,}(X_1+\ldots+X_n)={\rm Var\,}X_1+\ldots+{\rm Var\,}X_n\,.$ (54)

Beweis
 


Beachte
$ \;$ Neben den Erwartungswerten $ {\mathbb{E}\,}X_1,\ldots,{\mathbb{E}\,}
X_n$ und den Varianzen $ {\rm Var\,}X_1,\ldots,{\rm Var\,}X_n$ sind die in (53) auftretenden Kovarianzen $ \{{\rm Cov\,}(X_i,X_j),\,
1\le i<j\le n\}$ wichtige Charakteristiken des Zufallsvektors $ X=(X_1,\ldots,X_n)$.


Dies führt zu den folgenden Begriffsbildungen.

Definition
$ \;$ Seien $ X_1,\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}$ beliebige Zufallsvariablen mit $ {\mathbb{E}\,}(X_i^2)<\infty$ für jedes $ i\in\{1,\ldots,n\}$.
  1. Der Vektor $ ({\mathbb{E}\,}X_1,\ldots,{\mathbb{E}\,}X_n)$ heißt der Erwartungswertvektor des Zufallsvektors $ X=(X_1,\ldots,X_n)$.
    Schreibweise: $ {\mathbb{E}\,}X=({\mathbb{E}\,}X_1,\ldots,{\mathbb{E}\,}X_n)$
  2. Die $ n\times n$-Matrix

    $\displaystyle {\rm Cov\,}X=\left(
\begin{matrix}
{\rm Cov\,}(X_1,X_1) &\cdots &...
...&\cdots & {\rm Cov\,}(X_n,X_n)
\end{matrix}\right)
=({\rm Cov\,}(X_i,X_j))_{ij}$

    heißt die Kovarianzmatrix von $ X=(X_1,\ldots,X_n)$.


Theorem 4.14   Die Kovarianzmatrix $ {\rm Cov\,}X$ ist
1.
symmetrisch, d.h., für beliebige $ i,j\in\{1,\ldots,n\}$ gilt

$\displaystyle {\rm Cov\,}(X_i,X_j)={\rm Cov\,}(X_j,X_i)\,.$ (56)

2.
nichtnegativ definit, d.h., für jedes $ x\in\mathbb{R}^n$ gilt

$\displaystyle x\,{\rm Cov\,}X\, x^\top \ge 0\,,$ (57)

wobei $ x^\top$ der zu $ x$ transponierte Vektor ist.

Beweis
 


Beachte
$ \;$ Die Matrix $ {\rm Cov\,}X$ heißt positiv definit, falls

$\displaystyle x\,{\rm Cov\,}X\, x^\top > 0$ (58)

für jedes $ x\in\mathbb{R}^n$ mit $ x\not= 0$.


Beispiel
$ \;$ (zweidimensionale Normalverteilung) 


Beachte
 


Für Zufallsvektoren mit einer beliebigen Dimension $ n\in\mathbb{N}$ kann man den Begriff der $ n$-dimensionalen Normalverteilung einführen, indem man eine zu (61) analoge Dichte-Formel betrachtet.

Definition
 


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Ursa Pantle 2004-05-10