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Jensen-Ungleichung
Durch die folgende Ungleichung ist eine untere Schranke gegeben für den Erwartungswert von konvexen Funktionen von Zufallsvariablen.
Dabei heißt die Funktion
konvex
, falls es für jedes
eine Zahl
gibt, so dass
(70)
für jedes
gilt.
Theorem 4.17
(Jensen-Ungleichung)
Sei
eine konvexe Funktion. Falls
und
, dann gilt
(71)
Beweis
Die Funktion
sei derart, dass
und
.
Wenn nun
und
in (
70
) eingesetzt wird, dann ergibt sich die Ungleichung
Werden auf beiden Seiten dieser Ungleichung die Erwartungswerte gebildet, so ergibt dies wegen der Linearität des Erwartungswertes, dass
Beachte
Die Ungleichung (
67
) von Ljapunow lässt sich auch als Folgerung aus der Ungleichung (
71
) von Jensen gewinnen.
Hierfür genügt es, in (
71
) die Zufallsvariable
anstelle von
zu betrachten und
zu setzen, wobei
und
.
Dann ergibt sich aus (
71
), dass
Das ist äquivalent mit der Ungleichung (
67
) von Ljapunow.
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Ursa Pantle 2004-05-10