Ungleichungen vom $L^p$-Typ

• In diesem Abschnitt verallgemeinern wir die Ungleichung (48) von Cauchy-Schwarz und leiten weitere Ungleichungen dieses Typs her, die wir Ungleichungen vom $L^p$-Typ nennen.
• Dabei ist das folgende Hilfsergebnis nützlich, das manchmal die Ungleichung von Young genannt wird.

Lemma 4.3   Sei $\varphi:[0,\infty)\to[0,\infty)$ eine stetige und streng monoton wachsende Funktion mit $\varphi(0)=0$ und $\lim_{x\to\infty}\varphi(x)=\infty$. Für die Funktionen $\psi_1:[0,\infty)\to[0,\infty)$ und $\psi_2:[0,\infty)\to[0,\infty)$ mit

$$\psi_1(x)=\int\limits_0^x\varphi(y)\, dy\,,\qquad \psi_2(x)=\int\limits_0^x\varphi^{-1}(y)\, dy$$

gilt dann

$$a\,b\le\psi_1(a)+\psi_2(b)$$ (63)

für beliebige $a,b\ge 0$, wobei $\varphi^{-1}$ die zu $\varphi$ inverse Funktion ist.

Beweis

 

• Wir unterscheiden zwei Fälle: $\varphi(a)\ge b$ bzw. $\varphi(a)\le b$.
• Sei zunächst $\varphi(a)\ge b$.
• Dann gibt es ein $a^\prime\le a$, so dass $\varphi(a^\prime)=b$, d.h.
  $$\varphi(y)\le b\quad \forall\,y\in(0,a^\prime)$$   und$$\qquad \varphi(y)\ge b\quad\forall\, y\in(a^\prime,a)\,.$$

• Hieraus folgt, dass
  $$a^\prime b=\psi_1(a^\prime)+\psi_2(b)$$   und$$\qquad (a-a^\prime)b\le\psi_1(a)-\psi_1(a^\prime)\,.$$

• Es gilt somit
  

  $$a\,b = a^\prime b+ (a-a^\prime)b$$

  $$\le \psi_1(a^\prime)+\psi_2(b)+\psi_1(a)-\psi_1(a^\prime)$$

  $$= \psi_1(a)+\psi_2(b)\,.$$

  
  

• Für den Fall $\varphi(a)\le b$ verläuft der Beweis analog.
  
  $\Box$

Definition

 

• Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und sei $p\in[1,\infty)$ eine beliebige Zahl.
• Mit $L^p=L^p(\Omega,\mathcal{F},P)$ bezeichnen wir dann die Familie aller Zufallsvariablen $X:\Omega\to\mathbb{R}$, für die ${\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^p)<\infty$.
• Für jedes $X\in L^p$ heißt ${\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^p)$ das $p$-te absolute Moment von $X$.

Wir leiten nun eine Abschätzung für das (erste) absolute Moment des Produktes zweier Zufallsvariablen her.

Theorem 4.15   (Hölder-Ungleichung)$\;$ Sei $p,q>1$, so dass

$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,,$$ (64)

und seien $X,Y:\Omega\to\mathbb{R}$ beliebige Zufallsvariablen mit $X\in L^p$ und $Y\in L^q$. Dann gilt $X\,Y\in L^1$ und

$${\mathbb{E}\,}\vert X\,Y\vert\le\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^p)\bigr)^{1/p}\,\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert Y\vert^q)\bigr)^{1/q}\,.$$ (65)

Beweis

 

• Falls ${\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^p)=0$ oder ${\mathbb{E}\,}(\vert Y\vert^q)=0$, dann ergibt sich aus Teilaussage 7 von Theorem 4.4, dass $\vert X\vert^p=0$ oder $\vert X\vert^q=0$.
• In diesem Fall ergibt sich also, dass $X\,Y=0$.
• Es gilt somit $X\,Y\in L^1$ und ${\mathbb{E}\,}\vert X\,Y\vert=0$, d.h. in diesem Fall ist die Gültigkeit der Ungleichung (65) offensichtlich.
• Es gelte nun ${\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^p)>0$ und ${\mathbb{E}\,}(\vert Y\vert^q)>0$.
• Für $\varphi(x)=x^{p-1}$ und $a,b>0$ ergibt sich aus der Ungleichung (63), dass
  $$a\,b\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\;.$$

• Hieraus folgt für $a=\vert X\vert/\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^p)\bigr)^{1/p}$ und $b=\vert Y\vert/\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert Y\vert^q)\bigr)^{1/q}$, dass
  $$\frac{\vert X\,Y\vert}{\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^p)\bigr)... ...}(\vert X\vert^p)}+\frac{\vert Y\vert^q}{q\,{\mathbb{E}\,}(\vert Y\vert^q)}\;.$$

• Wenn nun auf beiden Seiten dieser Ungleichung der Erwartungswert gebildet und die Bedingung (64) berücksichtigt wird, dann ergibt sich die Ungleichung (65) und damit auch, dass $X\,Y\in L^1$.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Als Spezialfall der Ungleichung (65) von Hölder ergibt sich für $p=q=2$ die Ungleichung (48) von Cauchy-Schwarz.
• Eine weitere Folgerung aus der Ungleichung (65) von Hölder ist das folgende Resultat.

Korollar 4.6   (Ljapunow-Ungleichung)$\;$ Falls $1\le r\le s$, dann gilt

$$L^s\subset L^r\,,$$ (66)

und für jedes $X\in L^s$ gilt

$$\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^r)\bigr)^{1/r}\le \bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^s)\bigr)^{1/s}\,.$$ (67)

Beweis

 

• Sei $1\le r\le s$ und $X\in L^s$.
• Dann gilt auch $X\in L^r$, denn
  

  $${\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^r) = {\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^r{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{\vert X\v... ...}})+{\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^r{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{\vert X\vert> 1\}})$$

  $$\le 1+{\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^s{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{\vert X\vert>1\}})$$

  $$\le 1+{\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^s)<\infty\,.$$

  
  

• Damit ist (66) bewiesen.
• Um die Gültigkeit von (67) zu zeigen, genügt es, in die Ungleichung (65) von Hölder die Zufallsvariable $\vert X\vert^r$ anstelle von $X$ einzusetzen sowie $p=s/r$ bzw. $Y=1$ zu setzen.
• Dann ergibt sich aus (65), dass
  $${\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^r)\le\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^{rp})\bigr)^{1/p}=\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^s)\bigr)^{r/s}\,.$$
  
   
    $\Box$
  
  
  

Es gilt die folgende Abschätzung für das $p$-te absolute Moment der Summe von zwei Zufallvariablen.

Theorem 4.16   (Minkowski-Ungleichung)$\;$ Falls $p\ge 1$ und $X,Y\in L^p$, dann gilt $X+Y\in L^p$ und

$$\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X+Y\vert^p)\bigr)^{1/p}\le\bigl({\math... ...vert X\vert^p)\bigr)^{1/p} +\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert Y\vert^p)\bigr)^{1/p}\,.$$ (68)

Beweis

 

• Für $p=1$ ist (68) ein Spezialfall von Teilaussage 3 in Theorem 4.4.
• Sei nun $p>1$ und $X,Y\in L^p$.
• Für $q=p/(p-1)$ ist dann die Bedingung (64) erfüllt,
• und es gilt
  

  $${\mathbb{E}\,}(\vert X+Y\vert^p) = {\mathbb{E}\,}(\vert X+Y\vert^{p-1}\vert X+Y\vert)$$

  $$\le {\mathbb{E}\,}(\vert X+Y\vert^{p-1}\vert X\vert)+{\mathbb{E}\,}(\vert X+Y\vert^{p-1}\vert Y\vert)$$

  $$\le \bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X\vert^p)\bigr)^{1/p}\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X+Y\vert^{q(p-1)})\bigr)^{1/q}$$

  $$+\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert Y\vert^p)\bigr)^{1/p}\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X+Y\vert^{q(p-1)})\bigr)^{1/q}$$

  $$= \bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X+Y\vert^p)\bigr)^{1/q}\Bigl(\bigl({\m... ...\vert^p)\bigr)^{1/p}+\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert Y\vert^p)\bigr)^{1/p} \Bigr)\,,$$

  
  
  wobei in der vorletzten Gleichheit zweimal die Ungleichung (65) von Hölder bzw. in der letzten Gleichheit die Identität $q(p-1)=p$ angewendet wurde.
• Also ist

  $${\mathbb{E}\,}(\vert X+Y\vert^p)\le \bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X+... ...\vert^p)\bigr)^{1/p}+\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert Y\vert^p)\bigr)^{1/p} \Bigr)\,.$$ (69)

  
  

• Hieraus folgt (68), wenn beide Seiten der Ungleichung (69) durch $\bigl({\mathbb{E}\,}(\vert X+Y\vert^p)\bigr)^{1/q}$ dividiert werden und wenn dabei berücksichtigt wird, dass $1-q^{-1}=p^{-1}$.
  
  $\Box$