Definition und grundlegende Eigenschaften

• Seien $X_1,\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängige und (identisch) normalverteilte Zufallsvariablen, d.h. insbesondere, dass

  $$X_i\sim {\rm N}(\mu, \sigma^2) ,\qquad\forall i=1,\ldots,n ,$$ (11)

  
  
  wobei $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma^2>0$.
• In Vektor-Schreibweise bedeutet die Normalverteilungseigenschaft (11) und die Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen, dass die Verteilung der Zufallsstichprobe ${\mathbf{X}}=(X_1,\ldots,X_n)^\top$ gegeben ist durch

  $${\mathbf{X}}\sim {\rm N} \bigl({\boldsymbol{\mu}},\sigma^2{\mathbf{I}}_n\bigr) ,$$ (12)

  
  
  wobei ${\boldsymbol{\mu}}=(\mu,\ldots,\mu)^\top$ und N $\bigl({\boldsymbol{\mu}},\sigma^2{\mathbf{I}}_n\bigr)$ die $n$-dimensionale Normalverteilung mit Erwartungswertvektor ${\boldsymbol{\mu}}$ und Kovarianzmatrix $\sigma^2{\mathbf{I}}_n$ bezeichnet.
• Zur Erinnerung (vgl. Abschnitt WR-4.3.4): Allgemein wird die $n$-dimensionale Normalverteilung wie folgt definiert.
  • Sei ${\boldsymbol{\mu}}=(\mu_1,\ldots,\mu_n)^\top\in\mathbb{R}^n$ ein beliebiger Vektor, und sei ${\mathbf{K}}$ eine symmetrische und positiv definite $n\times n$-Matrix.
  • Sei ${\mathbf{Z}}=(Z_1,\ldots,Z_n)^\top$ ein absolutstetiger Zufallsvektor, wobei die gemeinsame Dichte von ${\mathbf{Z}}$ gegeben sei durch

    $$f({\mathbf{z}})=\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Bigr)^n\;\frac{1}{\sq... ...boldsymbol{\mu}})^\top {\mathbf{K}}^{-1}({\mathbf{z}}-{\boldsymbol{\mu}})\Bigr)$$ (13)

    
    
    für jedes ${\mathbf{z}}=(z_1,\ldots,z_n)^\top\in\mathbb{R}^n$.
  • Dann sagt man, dass der Zufallsvektor ${\mathbf{Z}}=(Z_1,\ldots,Z_n)^\top$ (regulär) normalverteilt ist.
  • Schreibweise: ${\mathbf{Z}}\sim {\rm N}({\boldsymbol{\mu}}, {\mathbf{K}})$

Wir zeigen nun, dass die in (13) gegebene Funktion eine ($n$-dimensionale) Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

Theorem 1.1   $\;$ Sei ${\boldsymbol{\mu}}=(\mu_1,\ldots,\mu_n)^\top\in\mathbb{R}^n$ ein beliebiger Vektor, und sei ${\mathbf{K}}$ eine symmetrische und positiv definite $n\times n$-Matrix. Dann gilt

$$\int\limits_{-\infty}^\infty \ldots \int\limits_{-\infty}^\infty ... ...bol{\mu}})\Bigr) dx_1\ldots dx_n =(2\pi)^{n/2} (\det {\mathbf{K}})^{1/2} .$$ (14)

Beweis

 

• Weil ${\mathbf{K}}$ symmetrisch und positiv definit (und damit auch invertierbar) ist, gibt es wegen Lemma 1.5 eine $n\times n$ Matrix ${\mathbf{V}}=({\mathbf{v}}_1,\ldots,{\mathbf{v}}_n)$, die aus den orthonormalen Eigenvektoren ${\mathbf{v}}_1,\ldots,{\mathbf{v}}_n$ von ${\mathbf{K}}$ besteht, so dass

  $${\mathbf{V}}^\top{\mathbf{K}}{\mathbf{V}}={\boldsymbol{\Lambda}} ,$$ (15)

  
  
  wobei ${\boldsymbol{\Lambda}}={\rm diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ die $n\times n$ Diagonalmatrix bezeichnet, die aus den Eigenwerten $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ von ${\mathbf{K}}$ gebildet wird.
• Außerdem ergibt sich aus der positiven Definitheit von ${\mathbf{K}}$, dass ${\mathbf{v}}_i^\top{\mathbf{K}}{\mathbf{v}}_i=\lambda_i>0$ für jedes $i=1,\ldots,n$, d.h., sämtliche Eigenwerte $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ von ${\mathbf{K}}$ sind positiv.
• Wegen ${\mathbf{V}}^\top{\mathbf{V}}={\mathbf{I}}$ gilt auch ${\mathbf{V}}^\top={\mathbf{V}}^{-1}$ bzw. ${\mathbf{V}}{\mathbf{V}}^\top={\mathbf{I}}$ .
• Weil außerdem $({\mathbf{A}}{\mathbf{B}})^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$ gilt, ergibt sich hieraus und aus (15), dass
  $$\bigl({\mathbf{V}}^\top{\mathbf{K}}{\mathbf{V}}\bigr)^{-1}={\math... ...-1}{\mathbf{V}} ={\rm diag}\bigl(\lambda_1^{-1},\ldots,\lambda_n^{-1}\bigr) .$$

• Die Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ mit ${\mathbf{y}}=\varphi({\mathbf{x}})={\mathbf{V}}^\top ({\mathbf{x}}-{\boldsymbol{\mu}})$, d.h. ${\mathbf{x}}-{\boldsymbol{\mu}}={\mathbf{V}}{\mathbf{y}}$, bildet den $\mathbb{R}^n$ bijektiv auf sich selbst ab, und für die Jacobi-Determinante der Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ gilt
  $$\det\Bigl(\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j} (x_1,\ldots,x_n)\Bigr)=\det{\mathbf{V}}=\pm 1 ,$$
  wobei sich die letzte Gleichheit aus der Tatsache ergibt, dass $1=\det({\mathbf{V}}^\top{\mathbf{V}})=(\det{\mathbf{V}})^2$.
• Für das Integral auf der linken Seite von (14) gilt somit, dass
  

  $${ \int\limits_{-\infty}^\infty \ldots \int\limits_{-\infty}^\inft... ...top {\mathbf{K}}^{-1}({\mathbf{x}}-{\boldsymbol{\mu}})\Bigr) dx_1\ldots dx_n}$$

  $$= \int\limits_{\mathbb{R}^n} \;\exp\Bigl(- \frac{1}{2} ({\mathbf{... ...c{1}{2} \sum\limits_{i=1}^n\frac{y_i^2}{\lambda_i} \Biggr) d(y_1,\ldots,y_n)$$

  $$= \int\limits_{-\infty}^\infty \ldots \int\limits_{-\infty}^\infty ... ...bda_i} \Biggr) dy_1\ldots dy_n= \prod\limits_{i=1}^n (2\pi\lambda_i)^{1/2} .$$

  
  

• Hieraus ergibt sich die Behauptung, weil
  $$\prod\limits_{i=1}^n \lambda_i=\det{\boldsymbol{\Lambda}}=\det\bi... ...t\bigl({\mathbf{V}}^\top{\mathbf{V}}\bigr)\det{\mathbf{K}}=\det{\mathbf{K}} .$$
  
   
    $\Box$