Diagonalisierungsverfahren

• Sei nun ${\mathbf{A}}$ eine invertierbare symmetrische $n\times n$ Matrix.
• In Lemma 1.4 haben wir gezeigt, dass dann sämtliche Eigenwerte $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ von ${\mathbf{A}}$ reelle Zahlen sind (wobei in dieser Folge gegebenenfalls einunddieselbe Zahl mehrfach auftreten kann).
• Wegen $\det{\mathbf{A}}\not=0$ ist $\lambda=0$ keine Lösung von (3), d.h., sämtliche Eigenwerte $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ von ${\mathbf{A}}$ sind von Null verschieden.
• Außerdem kann man zeigen, dass es orthonormale (Basis-) Vektoren ${\mathbf{v}}_1,\ldots,{\mathbf{v}}_n\in\mathbb{R}^n$ gibt, d.h.

  $${\mathbf{v}}_i^\top{\mathbf{v}}_i=1 ,\qquad {\mathbf{v}}_i^\top{\mathbf{v}}_j=0 ,\qquad\forall i,j\in\{1,\ldots,n\}\; \; i\not=j ,$$ (6)

  
  
  so dass ${\mathbf{v}}_i$ ein zu $\lambda_i$ gehörender Eigenvektor ist; $i=1,\ldots,n$.
• Wenn sämtliche Eigenwerte $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ voneinander verschieden sind, dann folgt dies unmittelbar aus Teilaussage 2 von Lemma 1.4.
• Hieraus resultiert das folgende Diagonalisierungsverfahren für invertierbare symmetrische Matrizen.

Lemma 1.5    

• Sei ${\mathbf{A}}$ eine invertierbare symmetrische $n\times n$ Matrix, und sei ${\mathbf{V}}=({\mathbf{v}}_1,\ldots,{\mathbf{v}}_n)$ die $n\times n$ Matrix, die aus den orthonormalen Eigenvektoren ${\mathbf{v}}_1,\ldots,{\mathbf{v}}_n$ besteht.
• Dann gilt

  $${\mathbf{V}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{V}}={\boldsymbol{\Lambda}} ,$$ (7)

  
  
  wobei ${\boldsymbol{\Lambda}}={\rm diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ die $n\times n$ Diagonalmatrix bezeichnet, die aus den Eigenwerten $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ gebildet wird.

Beweis

 

• Aus der Defintionsgleichung (2) von Eigenwerten bzw. -vektoren ergibt sich, dass ${\mathbf{A}}{\mathbf{v}}_i=\lambda_i{\mathbf{v}}_i$ für jedes $i=1,\ldots,n$.
• Hieraus folgt, dass ${\mathbf{A}}{\mathbf{V}}=(\lambda_1{\mathbf{v}}_1,\ldots,\lambda_n{\mathbf{v}}_n)$ bzw. ${\mathbf{V}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{V}}={\mathbf{V}}^\top(\lambda_1{\mathbf{v}}_1,\ldots,\lambda_n{\mathbf{v}}_n)={\boldsymbol{\Lambda}}$, wobei sich die letzte Gleichheit aus (6) ergibt.
  
  $\Box$