Randverteilungen und Unabhängigkeit von Teilvektoren; Faltungsstabilität

• In diesem Abschnitt zeigen wir, wie weitere interessante Eigenschaften der multivariaten Normalverteilung mit Hilfe von Theorem 1.2 hergeleitet werden können.

• Hierfür benötigen wir eine vektorielle Version des Eindeutigkeitssatzes für charakteristische Funktionen (vgl. Korollar WR-5.5), die wir ohne Beweis angeben.

Lemma 1.9   Seien ${\mathbf{X}},{\mathbf{Y}}:\Omega\to\mathbb{R}^n$ beliebige Zufallsvektoren; ${\mathbf{X}}=(X_1,\ldots,X_n)^\top$, ${\mathbf{Y}}=(Y_1,\ldots,Y_n)^\top$. Dann gilt

$${\mathbf{X}}\stackrel{{\rm d}}{=}{\mathbf{Y}} \qquad \varphi_{\mathbf{X}}({\mathbf{t}})=\varphi_{\mathbf{Y}}({\mathbf{t}})\qquad\forall {\mathbf{t}}=(t_1,\ldots,t_n)^\top\in\mathbb{R}^n ,$$ (21)

wobei

$$\varphi_{\mathbf{X}}({\mathbf{t}})={\mathbb{E} }\exp\Bigl({\rm i... ...mathbf{t}})={\mathbb{E} }\exp\Bigl({\rm i} \sum\limits_{j=1}^n t_j Y_j\Bigr)$$

die charakteristischen Funktionen von ${\mathbf{X}}$ bzw. ${\mathbf{Y}}$ sind.

Zunächst zeigen wir, dass beliebige Teilvektoren von normalverteilten Zufallsvektoren erneut normalverteilt sind.

• Dabei setzen wir so wie bisher voraus, dass ${\boldsymbol{\mu}}=(\mu_1,\ldots,\mu_n)^\top\in\mathbb{R}^n$ ein beliebiger Vektor und ${\mathbf{K}}=(k_{ij})$ eine symmetrische und positiv definite $n\times n$-Matrix ist.
• Es ist klar, dass der Zufallsvektor $(X_{\pi_1},\ldots,X_{\pi_n})^\top$ für jede Permutation ${\boldsymbol{\pi}}=(\pi_1,\ldots,\pi_n)^\top$ der natürlichen Zahlen $1,\ldots,n$ normalverteilt ist, wenn ${\mathbf{X}}=(X_1,\ldots,X_n)^\top$ normalverteilt ist.
• Bei der Untersuchung der Verteilung von Teilvektoren normalverteilter Zufallsvektoren können wir uns somit o.B.d.A. auf die Betrachtung der ersten Komponenten beschränken.

Korollar 1.2   $\;$ Sei ${\mathbf{X}}=(X_1,\ldots,X_n)^\top\sim{\rm N}({\boldsymbol{\mu}},{\mathbf{K}})$, wobei ${\mathbf{K}}$ positiv definit sei. Dann gilt

$$(X_1,\ldots,X_m)^\top\sim {\rm N}({\boldsymbol{\mu}}_m,{\mathbf{K}}_m)\qquad\forall\; m=1,\ldots,n ,$$

wobei ${\boldsymbol{\mu}}_m=(\mu_1,\ldots,\mu_m)^\top$ und ${\mathbf{K}}_m$ diejenige $m\times m$ Matrix bezeichnet, die aus den ersten $m$ Zeilen bzw. Spalten von ${\mathbf{K}}$ gebildet wird.

Beweis

 

• Sei $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ die charakteristische Funktion von $(X_1,\ldots,X_n))^\top$.
• Für die charakteristische Funktion $\varphi_m:\mathbb{R}^m\to\mathbb{C}$ von $(X_1,\ldots,X_m))^\top$ gilt dann
  $$\varphi_m({\mathbf{t}}_m)=\varphi\Bigl(({\mathbf{t}}_m,\underbrac... ...gr) , \qquad\forall {\mathbf{t}}_m=(t_1,\ldots,t_m))^\top\in\mathbb{R}^m .$$

• Hieraus und aus (17) ergibt sich, dass
  $$\varphi_m({\mathbf{t}}_m)=\exp\Bigl({\rm i} {\mathbf{t}}_m^\top{... ...bf{K}}_m{\mathbf{t}}_m\Bigr) ,\qquad\forall {\mathbf{t}}_m\in\mathbb{R}^m .$$

• Weil mit ${\mathbf{K}}$ auch die $m\times m$ Matrix ${\mathbf{K}}_m$ symmetrisch und positiv definit ist, bedeutet dies wegen Theorem 1.2, dass die charakteristische Funktion des Teilvektors $(X_1,\ldots,X_m))^\top$ mit der charakteristischen Funktion der N $({\boldsymbol{\mu}}_m,{\mathbf{K}}_m)$-Verteilung übereinstimmt.
• Wegen des eineindeutigen Zusammenhanges zwischen der charakteristischen Funktion und der Verteilung von Zufallsvektoren (vgl. Lemma 1.9) ergibt sich hieraus die Behauptung.
  
  $\Box$

Bei der Zerlegung des normalverteilten Zufallsvektors ${\mathbf{X}}=(X_1,\ldots,X_n)^\top$ in die zwei Teilvektoren $(X_1,\ldots,X_m)^\top$ und $(X_{m+1},\ldots,X_n)^\top$, wobei $1<m<n$, lässt sich ein einfaches Kriterium dafür angeben, dass $(X_1,\ldots,X_m)^\top$ und $(X_{m+1},\ldots,X_n)^\top$ unabhängig sind.

Korollar 1.3   $\;$ Sei ${\mathbf{X}}=(X_1,\ldots,X_n)^\top$ ein normalverteilter Zufallsvektor mit ${\mathbf{X}}\sim {\rm N}({\boldsymbol{\mu}},{\mathbf{K}})$; ${\mathbf{K}}=(k_{ij})$. Die Teilvektoren $(X_1,\ldots,X_m)^\top$ und $(X_{m+1},\ldots,X_n)^\top$ sind genau dann unabhängig, wenn $k_{ij}=0$ für beliebige $i\in\{1,\ldots,m\}$ und $j\in\{m+1,\ldots,n\}$.

Beweis

 

• Wenn die Teilvektoren $(X_1,\ldots,X_m)^\top$ und $(X_{m+1},\ldots,X_n)^\top$ unabhängig sind, dann sind auch die (eindimensionalen) Zufallsvariablen $X_i$ und $X_j$ für beliebige $i\in\{1,\ldots,m\}$ und $j\in\{m+1,\ldots,n\}$ unabhängig.
• Damit gilt insbesondere ${\rm Cov }(X_i,X_j)=0$, und aus Korollar 1.1 folgt, dass $k_{ij}=0$.
• Wir nehmen nun umgekehrt an, dass $k_{ij}=0$ für beliebige $i\in\{1,\ldots,m\}$ und $j\in\{m+1,\ldots,n\}$.
• Dann ergibt sich aus Theorem 1.2, dass sich die charakteristische Funktion $\varphi({\mathbf{t}})$ von ${\mathbf{X}}=(X_1,\ldots,X_n)^\top$ wie folgt faktorisieren lässt.
• Für jedes ${\mathbf{t}}=(t_1,\ldots,t_n)^\top\in\mathbb{R}^n$ gilt
  

  $${ \varphi({\mathbf{t}}) = \exp\Bigl({\rm i} {\mathbf{t}}^\top{\b... ...mu_i- \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n t_ik_{ij}t_j\Bigr)}$$

  $$= \exp\Bigl({\rm i} \sum\limits_{i=1}^m t_i\mu_i- \frac{1}{2} \... ...,\frac{1}{2} \sum\limits_{i=m+1}^n\sum\limits_{j=m+1}^n t_ik_{ij}t_j\Bigr) ,$$

  
  
  wobei die Faktoren des letzten Ausdruckes die charakteristischen Funktionen von $(X_1,\ldots,X_m)^\top$ und $(X_{m+1},\ldots,X_n)^\top$ sind.
• Die Behauptung ergibt sich nun aus dem eineindeutigen Zusammenhang zwischen der Verteilung und der charakteristischen Funktion von Zufallsvektoren, vgl. Lemma 1.9.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Schließlich diskutieren wir noch die Faltungsstabilität der multivariaten Normalverteilung und verallgemeinern dabei Korollar WR-3.2, wo wir diese Eigenschaft für die eindimensionale Normalverteilung bewiesen hatten.
• In diesem Zusammenhang ist die folgende Formel für die charakteristische Funktion von Summen unabhängiger Zufallsvektoren nützlich, die sich genauso wie die in Theorem WR-5.18 für den eindimensionalen Fall hergeleitete Formel beweisen lässt.

Lemma 1.10   Seien ${\mathbf{Z}}_1,{\mathbf{Z}}_2:\Omega\to\mathbb{R}^n$ unabhängige Zufallsvektoren. Für die charakteristische Funktion $\varphi_{{\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ der Summe ${\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2$ gilt dann

$$\varphi_{{\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2}({\mathbf{t}})=\varphi_{{\... ...{{\mathbf{Z}}_2}({\mathbf{t}}) ,\qquad\forall {\mathbf{t}}\in\mathbb{R}^n ,$$ (22)

wobei $\varphi_{{\mathbf{Z}}_i}$ die charakteristische Funktion von ${\mathbf{Z}}_i$ bezeichnet; $i=1,2$.

Die folgende Aussage wird Faltungsstabilität der multivariaten Normalverteilung genannt.

Korollar 1.4   $\;$ Seien ${\mathbf{Z}}_1,{\mathbf{Z}}_2:\Omega\to\mathbb{R}^n$ unabhängige Zufallsvektoren mit ${\mathbf{Z}}_i\sim {\rm N}({\boldsymbol{\mu}}_i,{\mathbf{K}}_i)$ für $i=1,2$. Dann gilt ${\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2\sim {\rm N}({\boldsymbol{\mu}}_1+{\boldsymbol{\mu}}_2,{\mathbf{K}}_1+{\mathbf{K}}_2)$.

Beweis

 

• Aus (17) und (22) ergibt sich, dass
  

  $$\varphi_{{\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2}({\mathbf{t}}) = \varphi_{{\mathbf{Z}}_1}({\mathbf{t}})\; \varphi_{{\mathbf{Z}}_2}({\mathbf{t}})$$

  $$= \exp\Bigl({\rm i} {\mathbf{t}}^\top{\boldsymbol{\mu}}_1- \frac{... ...ymbol{\mu}}_2- \frac{1}{2} {\mathbf{t}}^\top{\mathbf{K}}_2{\mathbf{t}}\Bigr)$$

  $$= \exp\Bigl({\rm i} {\mathbf{t}}^\top({\boldsymbol{\mu}}_1+{\bolds... ...c{1}{2} {\mathbf{t}}^\top({\mathbf{K}}_1+{\mathbf{K}}_2){\mathbf{t}}\Bigr) .$$

  
  

• Hieraus und aus dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische Funktionen von Zufallsvektoren (vgl. Lemma 1.9) ergibt sich die Behauptung.
  
  $\Box$