Lineare Transformation von normalverteilten Zufallsvektoren

Wir zeigen nun, dass die Lineartransformation normalverteilter Zufallsvektoren erneut zu normalverteilten Zufallsvektoren führt.

Theorem 1.3    

• Sei ${\mathbf{Y}}\sim {\rm N}({\boldsymbol{\mu}},{\mathbf{K}})$ ein $n$-dimensionaler normalverteilter Zufallsvektor mit Erwartungswertvektor ${\boldsymbol{\mu}}\in\mathbb{R}^n$ und mit (positiv definiter) Kovarianzmatrix ${\mathbf{K}}$.
• Außerdem gelte $m\le n$, und ${\mathbf{A}}$ sei eine beliebige $m\times n$ Matrix mit vollem Rang ${ {\rm rg}}({\mathbf{A}})=m$ bzw. ${\mathbf{c}}\in\mathbb{R}^m$ ein beliebiger $m$-dimensionaler Vektor.
• Dann ist ${\mathbf{Z}}={\mathbf{A}}{\mathbf{Y}}+{\mathbf{c}}$ ein ($m$-dimensionaler) normalverteilter Zufallsvektor mit

  $${\mathbf{Z}}\sim {\rm N}({\mathbf{A}}{\boldsymbol{\mu}}+{\mathbf{c}}, {\mathbf{A}}{\mathbf{K}}{\mathbf{A}}^\top) .$$ (23)

  
  

Beweis

 

• Für jedes ${\mathbf{a}}\in\mathbb{R}^m$ gilt
  $$\varphi_{\mathbf{Z}}({\mathbf{t}})=\exp({\rm i} {\mathbf{t}}^\t... ...}}-{\mathbf{a}}}({\mathbf{t}}) ,\qquad\forall {\mathbf{t}}\in\mathbb{R}^m .$$

• Aus der in Theorem 1.2 hergeleiteten Formel (17) und aus dem Eindeutigkeitssatz für die charakteristische Funktion von normalverteilten Zufallsvektoren folgt somit, dass
  $${\mathbf{Z}}\sim {\rm N}({\mathbf{A}}{\boldsymbol{\mu}}+{\mathbf... ...c}})\sim {\rm N}({\mathbf{o}}, {\mathbf{A}}{\mathbf{K}}{\mathbf{A}}^\top) .$$

• O.B.d.A. können (und werden) wir deshalb annehmen, dass ${\mathbf{Y}}\sim {\rm N}({\mathbf{o}},{\mathbf{K}})$ und ${\mathbf{c}}={\mathbf{o}}$.
• Für die charakteristische Funktion $\varphi_{\mathbf{Z}}({\mathbf{t}})$ von ${\mathbf{Z}}={\mathbf{A}}{\mathbf{Y}}$ ergibt sich dann, dass für jedes ${\mathbf{t}}\in\mathbb{R}^m$
  

  $$\varphi_{\mathbf{Z}}({\mathbf{t}}) = {\mathbb{E} }e^{{\rm i} {\mathbf{t}}^\top{\mathbf{Z}}}$$

  $$= {\mathbb{E} }e^{{\rm i} {\mathbf{t}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{Y}}}= {\mathbb{E} }e^{{\rm i} ({\mathbf{A}}^\top{\mathbf{t}})^\top{\mathbf{Y}}}$$

  $$= \varphi_{\mathbf{Y}}( {\mathbf{A}}^\top{\mathbf{t}}) ,$$

  
  
  wobei $\varphi_{\mathbf{Y}}( {\mathbf{A}}^\top{\mathbf{t}})$ den Wert der charakteristischen Funktion des normalverteilten Zufallsvektors ${\mathbf{Y}}$ an der Stelle ${\mathbf{A}}^\top{\mathbf{t}}\in\mathbb{R}^n$ bezeichnet.
• Aus der Darstellungsformel (17) für die charakteristische Funktion normalverteilter Zufallsvektoren ergibt sich nun, dass
  

  $$\varphi_{\mathbf{Z}}({\mathbf{t}}) = \varphi_{\mathbf{Y}}({\mathbf{A}}^\top{\mathbf{t}})$$

  $$= \exp\Bigl(- \frac{1}{2} ( {\mathbf{A}}^\top{\mathbf{t}})^\top{\mathbf{K}}( {\mathbf{A}}^\top{\mathbf{t}})\Bigr)$$

  $$= \exp\Bigl(- \frac{1}{2} {\mathbf{t}}^\top({\mathbf{A}}{\mathbf{K}}{\mathbf{A}}^\top){\mathbf{t}}\Bigr) .$$

  
  

• Mit anderen Worten: Die charakteristische Funktion von ${\mathbf{Z}}$ stimmt mit der charakteristischen Funktion der N $({\mathbf{o}}, {\mathbf{A}}{\mathbf{K}}{\mathbf{A}}^\top)$-Verteilung überein.
• Aus dem Eindeutigkeitssatz für die charakteristische Funktion von Zufallsvektoren folgt somit, dass ${\mathbf{Z}}\sim$ N $({\mathbf{o}}, {\mathbf{A}}{\mathbf{K}}{\mathbf{A}}^\top)$.
  
  $\Box$

Aus Theorem 1.3 ergibt sich insbesondere, dass sich normalverteilte Zufallsvektoren durch Lineartransformation von Vektoren konstruieren lassen, deren Komponenten unabhängige und N$(0,1)$-verteilte Zufallsvariablen sind.

Korollar 1.5    

• Seien $Y_1,\ldots, Y_n:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängige Zufallsvariablen mit $Y_i\sim {\rm N}(0,1)$ für jedes $i=1,\ldots,n$, d.h. ${\mathbf{Y}}=(Y_1,\ldots,Y_n)^\top\sim {\rm N}({\mathbf{o}},{\mathbf{I}})$.
• Sei ${\mathbf{K}}$ eine symmetrische und positiv definite $n\times n$ Matrix, und sei ${\boldsymbol{\mu}}\in\mathbb{R}^n$.
• Für den Zufallsvektor ${\mathbf{Z}}={\mathbf{K}}^{1/2}{\mathbf{Y}}+{\boldsymbol{\mu}}$ gilt dann ${\mathbf{Z}}\sim {\rm N}({\boldsymbol{\mu}}, {\mathbf{K}})$, wobei ${\mathbf{K}}^{1/2}$ die Quadratwurzel von ${\mathbf{K}}$ ist.

Beweis

 

• Aus Theorem 1.3 ergibt sich, dass
  $${\mathbf{Z}}\sim {\rm N}({\boldsymbol{\mu}}, {\mathbf{K}}^{1/2}\bigl({\mathbf{K}}^{1/2}\bigr)^\top) .$$

• Hieraus und aus Lemma 1.6 folgt die Behauptung.
  
  $\Box$