Verknüpfung der Parameter; natürliche Linkfunktion

• Von nun an setzen wir voraus, dass die Funktion $b:\Theta\to\mathbb{R}$ zweimal stetig differenzierbar ist mit $b^{(2)}(\theta)>0$ für jedes $\theta\in\Theta$.
• Außerdem sei $G=\{b^{(1)}(\theta):\,\theta\in\Theta\}$, und die Linkfunktion $g:G\to\mathbb{R}$ sei zweimal stetig differenzierbar, so dass $g^{(1)}(x)\not=0$ für jedes $x\in G$. Die Umkehrfunktion von $g$ bezeichnen wir mit $h=g^{-1}$.
• Wir betrachten das in (1) gegebene verallgemeinerte lineare Modell (GLM = generalized linear model), d.h., es gelte

  $$\bigl(g({\mathbb{E} }Y_1),\ldots,g({\mathbb{E} }Y_n)\bigr)^\top={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}} .$$ (8)

  
  
  • Mit der Schreibweise ${\mathbf{X}}=(x_{ij})$ und ${\mathbf{x}}_i=(x_{i1},\ldots,x_{im})^\top$ bzw. ${\boldsymbol{\eta}}=(\eta_1,\ldots,\eta_n)^\top$, wobei $\eta_i={\mathbf{x}}_i^\top{\boldsymbol{\beta}}$, ergibt sich dann aus (8) für die Erwartungswerte $\mu_i={\mathbb{E} }Y_i$ $(i=1,\ldots,n)$, dass

    $$\mu_i=h(\eta_i)=h\bigl({\mathbf{x}}_i^\top{\boldsymbol{\beta}}\bigr) \qquad {\boldsymbol{\mu}}=\bigl(h(\eta_1),\ldots,h(\eta_n)\bigr)^\top ,$$ (9)

    
    
    wobei ${\boldsymbol{\mu}}=(\mu_1,\ldots,\mu_n)^\top$.
  • Wegen (7) und (8) sind die Parameter ${\boldsymbol{\beta}}=(\beta_1,\ldots,\beta_m)^\top$ und ${\boldsymbol{\theta}}=(\theta_1,\ldots,\theta_n)^\top$ wie folgt miteinander verknüpft: Es gilt

    $$\bigl(g\bigl(b^{(1)}(\theta_1)\bigr),\ldots, g\bigl(b^{(1)}(\theta_n)\bigr)\bigr)^\top={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}} .$$ (10)

    
    

• Hieraus und aus (9) ergibt sich, dass
  $$\bigl(b^{(1)}(\theta_1),\ldots,b^{(1)}(\theta_n)\bigr) =\bigl(h({... ...boldsymbol{\beta}}),\ldots,h({\mathbf{x}}_n^\top{\boldsymbol{\beta}})\bigr) .$$
  bzw.

  $$(\theta_1,\ldots,\theta_n) =\bigl(\psi\bigl(h({\mathbf{x}}_1^\top... ...gr),\ldots, \psi\bigl(h({\mathbf{x}}_n^\top{\boldsymbol{\beta}})\bigr)\bigr) ,$$ (11)

  
  
  wobei $\psi=\bigl(b^{(1)}\bigr)^{-1}$ die Umkehrfunktion von $b^{(1)}$ ist.
• Außerdem lässt sich auch die Varianz $\sigma^2_i={\rm Var }Y_i$ der Stichprobenvariablen $Y_i$ für jedes $i=1,\ldots,n$ als Funktion $\sigma_i^2({\boldsymbol{\beta}})$ von ${\boldsymbol {\beta }}$ ausdrücken, denn aus Lemma 4.2 und aus (11) ergibt sich, dass

  $$\sigma_i^2({\boldsymbol{\beta}})=\tau^2 b^{(2)}\bigl(\psi\bigl(h... ...athbf{x}}_i^\top{\boldsymbol{\beta}})\bigr)\bigr)\qquad\forall\;i=1,\ldots,n .$$ (12)

  
  

Beachte

  Die Linkfunktion $g:G\to\mathbb{R}$ heißt natürlich, wenn $g=\psi$. In diesem Fall gilt $\theta_i=\psi(\mu_i)$ bzw. $\theta_i={\mathbf{x}}_i^\top{\boldsymbol{\beta}}$ für jedes $i=1,\ldots,n$, d.h.,

$$(\theta_1,\ldots,\theta_n)^\top={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}} .$$ (13)