Verallgemeinerte lineare Modelle

• In den Kapiteln 2 und 3 hatten wir über das lineare Modell ${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }}$ stets vorausgesetzt,
  • dass ${\mathbb{E} }{\boldsymbol{\varepsilon }}={\bf o}$, d.h., $\bigl({\mathbb{E} }Y_1,\ldots,{\mathbb{E} } Y_n\bigr)^\top={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}$,
  • wobei außerdem ${\mathbf{Y}}\sim {\rm N}({\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}},\sigma^2{\mathbf{I}})$ gilt, wenn ${\boldsymbol{\varepsilon }}\sim {\rm N}({\bf o},\sigma^2{\mathbf{I}})$.
• Wir verallgemeinern nun dieses Modell und lassen zu, dass die Erwartungswerte ${\mathbb{E} }Y_1,\ldots,{\mathbb{E} }Y_n$ der Stichprobenvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$
  • über eine beliebige monotone Funktion $g:G\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, die so genannte Linkfunktion, durch die Komponenten des Vektors ${\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}$ ausgedrückt werden können, so dass

    $$\bigl(g({\mathbb{E} }Y_1),\ldots,g({\mathbb{E} }Y_n)\bigr)^\top={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}} ,$$ (1)

    
    

  • wobei der Definitionsbereich $G$ von $g$ noch genauer spezifiziert wird.
• Außerdem müssen jetzt die (unabhängigen) Stichprobevariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ nicht notwendig normalverteilt sein, denn wir nehmen nur an, dass die Verteilungen von $Y_1,\ldots,Y_n$ zu einer Exponentialfamilie gehören.
• Wir setzen in diesem Kapitel jedoch (so wie in Kapitel 2) stets voraus, dass die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ vollen Spaltenrang hat, d.h. ${ {\rm rg}}({\mathbf{X}})=m$.

Genauso wie bei den linearen Modellen, die in den Kapiteln 2 und 3 betrachtet wurden, besteht eine Zielstellung darin, den Parametervektor ${\boldsymbol {\beta }}$ durch die Beobachtung der Zufallsstichprobe ${\mathbf{Y}}=(Y_1,\ldots,Y_n)^\top$ zu schätzen, wobei angenommen wird, dass die Linkfunktion $g:G\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ bekannt ist.