Klassenbildung; Pearson-Statistik

• Für eine (hinreichend große) natürliche Zahl $r$ zerlegen wir den Wertebereich der Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n$ in $r$ Klassen $(a_1,b_1],\ldots,(a_r,b_r]$ mit
  $$-\infty\le a_1<b_1=a_2<b_2=\ldots=a_r<b_r\le\infty .$$

• Anstelle der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ betrachten wir die ,,Klassenstärken'' $Z_1,\ldots,Z_r$, wobei

  $$Z_j=\char93 \{i: 1\le i\le n, a_j<X_i\le b_j\}\qquad\forall j=1,\ldots,r .$$ (32)

  
  

Wir zeigen zunächst, dass der Zufallsvektor $(Z_1,\ldots,Z_r)$ multinomialverteilt ist mit den Parametern $n\ge 1$ und

$${\mathbf{p}}=(p_1,\ldots,p_{r-1})^\top\in[0,1]^{r-1} ,$$   wobei$$\;\; p_j=\mathbb{P}(a_j<X_1\le b_j)\qquad\forall j=1,\ldots,r-1 .$$

Lemma 5.4   $\;$ Für beliebige natürliche Zahlen $k_1,\ldots,k_r\ge 0$ mit $k_1+\ldots+k_r=n$ gilt

$$\mathbb{P}(Z_1=k_1,\ldots,Z_r=k_r)=\frac{n!}{k_1!\cdot\ldots\cdot k_r!}\; p_1^{k_1}\ldots p_r^{k_r} ,$$ (33)

wobei $p_r=1-(p_1+\ldots+p_{r-1})$.

Beweis

 

• Weil die Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n$ unabhängig und identisch verteilt sind, gilt

  $$\mathbb{P}\bigl(X_1\in(a_{i_1},b_{i_1}],\ldots,X_n\in(a_{i_n},b_{... ...od\limits _{j=1}^n \mathbb{P}(a_{i_j}<X_1\le b_{i_j})=p_1^{k_1}\ldots p_r^{k_r}$$ (34)

  
  
  für jede Folge von Intervallen $(a_{i_1},b_{i_1}],\ldots,(a_{i_n},b_{i_n}]$, die $k_1$-mal das Intervall $(a_1,b_1],\ldots,$ $k_r$-mal das Intervall $(a_r,b_r]$ enthält.
• Die Behauptung (33) ergibt sich nun durch Summation der in (34) betrachteten Wahrscheinlichkeiten über sämtliche Permutationen von Folgen $(a_{i_1},b_{i_1}],\ldots,(a_{i_n},b_{i_n}]$ dieser Art.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Die Multinomialverteilung mit den Parametern $n\ge 1$ und ${\mathbf{p}}=(p_1,\ldots,p_{r-1})^\top\in[0,1]^{r-1}$ bezeichnen wir mit M $_{r-1}(n,{\mathbf{p}})$. Man kann sich leicht überlegen, dass für $r=2$ die Multinomialverteilung M$_1(n,p_1)$ mit der Binomialverteilung Bin$(n,p_1)$ übereinstimmt.
• Anstelle das Testproblem (31) zu untersuchen, prüfen wir die Hypothese $H_0:{\mathbf{p}}={\mathbf{p}}_0$ (gegen die Alternative $H_1:{\mathbf{p}}\not={\mathbf{p}}_0$) für einen vorgegebenen (hypothetischen) Parametervektor
  $${\mathbf{p}}_0=(p_{0,1},\ldots,p_{0,r-1})^\top\in(0,1)^{r-1}$$   $$\mbox{ mit $\;\;\sum\limits _{i=1}^{r-1}p_{0,i}< 1$.}$$$$$$
  • Wir zerlegen also die Familie $\Delta$ der insgesamt in Betracht gezogenen Verteilungen der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ in die Teilmengen

    $$\Delta_0=\{P:\;\mathbb{P}_P(a_j< X_1\le b_j)=p_{0,j}\;\forall j=1,\ldots,r-1\} \qquad \Delta_1=\Delta\setminus\Delta_0 .$$ (35)

    
    

  • Dabei betrachten wir die Stichprobenfunktion $T_n:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ mit

    $$T_n(x_1,\ldots,x_n)=\sum\limits _{j=1}^r\;\frac{\bigl(Z_j(x_1,\ldots,x_n)-np_{0,j}\bigr)^2}{np_{0,j}}\;,$$ (36)

    
    

  • wobei $Z_j(x_1,\ldots,x_n)$ die Anzahl derjenigen Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ bezeichnet, die im Intervall $(a_j,b_j]$ liegen.
• Unter $H_0:{\mathbf{p}}={\mathbf{p}}_0$ gilt ${\mathbb{E} }Z_j(X_1,\ldots,X_n)=np_{0,j}$ für jedes $j\in\{1,\ldots,r\}$.
  • Es ist deshalb sinnvoll, die Hypothese $H_0:{\mathbf{p}}={\mathbf{p}}_0$ abzulehnen, wenn $T_n(x_1,\ldots,x_n)$ signifikant größer als 0 ist.
  • Um dies entscheiden zu können, benötigen wir Kenntnisse über die Verteilung der in (36) eingeführten Testgröße $T_n(X_1,\ldots,X_n)$, die Pearson-Statistik genannt wird.