Asymptotische Verteilung

Wir zeigen, dass $T_n(X_1,\ldots,X_n)$ in Verteilung gegen die $\chi ^2$-Verteilung mit $r-1$ Freiheitsgraden strebt, wenn $n\to\infty$. Dies ist die Grundlage des $\chi ^2$-Anpassungstests, der von Karl Pearson (1857-1936) eingeführt worden ist.

Theorem 5.5   Für jedes $P\in\Delta_0$ gilt

$$\lim\limits _{n\to\infty}\mathbb{P}_P\bigl(T_n(X_1,\ldots,X_n) >\chi^2_{r-1,1-\alpha}\bigr)=\alpha ,\qquad\forall \alpha\in(0,1) ,$$ (37)

wobei $\chi^2_{r-1,1-\alpha}$ das $(1-\alpha)$-Quantil der $\chi ^2$-Verteilung mit $r-1$ Freiheitsgraden bezeichnet.

Beweis

 

• In Lemma 5.4 hatten wir gezeigt, dass der in (32) gegebene Zufallsvektor ${\mathbf{Z}}_n=(Z_{n1},\ldots,Z_{nr})^\top$, wobei $Z_{nj}=Z_j(X_1,\ldots,X_n)$, multinomialverteilt ist unter $P\in\Delta_0$ mit den Parametern $n\in\mathbb{N}$ und
  $${\mathbf{p}}_0=(p_{01},\ldots,p_{0,r-1})^\top\in[0,1]^{r-1} ,$$   wobei$$\;\; p_{0j}=\mathbb{P}_P(a_j<X_1\le b_j)\quad\forall j=1,\ldots,r-1 .$$
  • Hieraus folgt insbesondere, dass für beliebige $i,j\in\{1,\ldots,r\}$

    $${\mathbb{E} }Z_{ni}=np_{0i} ,\qquad {\rm Cov }(Z_{ni},Z_{nj})=... ...enn $i\not=j$,}\ np_{0i}(1-p_{0i}) , & \mbox{wenn $i=j$.} \end{array}\right.$$ (38)

    
    

  • Außerdem ergibt sich aus (32), dass $Z_j=\sum_{i=1}^n {\bf 1}_{\{a_j<X_i\le b_j\}}$, wobei ${\bf 1}_{\{a_j<X_i\le b_j\}}$ der Indikator des Ereignisses $\{a_j<X_i\le b_j\}$ ist, d.h., ${\mathbf{Z}}_n$ lässt sich als Summe von $n$ unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvektoren darstellen.
• Mit der Schreibweise

  $${\mathbf{Z}}_n^\prime=\Bigl(\frac{Z_{n1}}{\sqrt{n}}\;-\sqrt{n}p_{01},\;\ldots,\;\frac{Z_{n,r-1}}{\sqrt{n}}\;-\sqrt{n}p_{0,r-1}\Bigr)^\top$$ (39)

  
  
  ergibt sich somit aus Lemma 5.2, dass für $n\to\infty$

  $${\mathbf{Z}}^\prime_n \stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}{\mathbf{Z}}^\prime\sim {\rm N}({\mathbf{o}},{\mathbf{K}}) ,$$ (40)

  
  
  • wobei der $(r-1)$-dimensionale Zufallsvektor ${\mathbf{Z}}^\prime$ eine (reguläre) multivariate Normalverteilung hat,
  • deren Kovarianzmatrix ${\mathbf{K}}=(\sigma_{ij}^2)$ gegeben ist durch

    $$\sigma_{ij}^2=\left\{\begin{array}{ll} -p_{0i}p_{0j} , & \mbox{wenn $i\not=j$,}\ p_{0i}(1-p_{0i}) , & \mbox{wenn $i=j$.} \end{array}\right.$$ (41)

    
    

• Man kann sich leicht überlegen, dass ${\mathbf{K}}$ invertierbar ist, wobei die Eintragungen $a_{ij}$ der inversen Matrix ${\mathbf{A}}={\mathbf{K}}^{-1}$ gegeben sind durch

  $$a_{ij}=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{p_{0r}}\;, ... ...frac{1}{p_{0i}}\;+\;\frac{1}{p_{0r}}\;, & \mbox{wenn $i=j$.} \end{array}\right.$$ (42)

  
  
  • Aus (40) und aus den Eigenschaften von Lineartransformationen normalverteilter Zufallsvektoren (vgl. Theorem 1.3) ergibt sich nun mit Hilfe von Lemma 4.5, dass ${\mathbf{A}}^{1/2}{\mathbf{Z}}_n^\prime\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow} {\rm N}({\bf o},{\mathbf{I}}_{r-1})$, wobei ${\mathbf{I}}_{r-1}$ die $(r-1)\times(r-1)$-dimensionale Einheitsmatrix ist.
  • Die erneute Anwendung von Lemma 4.5 ergibt somit, dass
    $$\bigl({\mathbf{A}}^{1/2}{\mathbf{Z}}_n^\prime\bigr)^\top \bigl({\... ...}{\mathbf{Z}}_n^\prime\bigr)\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}\chi^2_{r-1} .$$

• Es genügt nun zu beachten, dass
  $$\bigl({\mathbf{A}}^{1/2}{\mathbf{Z}}_n^\prime\bigr)^\top \bigl({\mathbf{A}}^{1/2}{\mathbf{Z}}_n^\prime\bigr)=T_n(X_1,\ldots,X_n) .$$
  • Es gilt nämlich
    

    $$\bigl({\mathbf{A}}^{1/2}{\mathbf{Z}}_n^\prime\bigr)^\top\bigl({\mathbf{A}}^{1/2}{\mathbf{Z}}_n^\prime\bigr) = \bigl({\mathbf{Z}}_n^\prime\bigr)^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{Z}}_n^\prime$$

    $$= n\sum\limits_{j=1}^{r-1}\frac{1}{p_{0j}}\; \Bigl(\frac{Z_{nj}}{n}... ...}\Bigl(\frac{Z_{ni}}{n}\; -p_{0i}\Bigr)\Bigl(\frac{Z_{nj}}{n}\;-p_{0j}\Bigr) ,$$

    
    

  • wobei sich der zweite Summand des letzten Ausdruckes schreiben lässt in der Form
    $$\frac{n}{p_{0r}}\;\sum\limits_{i=1}^{r-1} \sum\limits_{j=1}^{r-1}... ...j}\Bigr)\Bigr)^2 =\frac{n}{p_{0r}}\;\Bigl(\frac{Z_{nr}}{n}\;-p_{0r}\Bigr)^2 ,$$

  • denn offenbar gilt $\sum_{j=1}^{r-1}Z_{nj}=n-Z_{nr}$ und $\sum_{j=1}^{r-1}p_{0j}=1-p_{0r}$.
    
    $\Box$

Beachte

 

• Bei der praktischen Durchführung des $\chi ^2$-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese $H_0:{\mathbf{p}}={\mathbf{p}}_0$ ist zunächst der Wert der in (36) definierten Testgröße $T_n(x_1,\ldots,x_n)$ zu berechnen.
  • Bei hinreichend großem Stichprobenumfang $n$ wird die Hypothese $H_0:{\mathbf{p}}={\mathbf{p}}_0$ abgelehnt, wenn
    $$T_n(x_1,\ldots,x_n)>\chi^2_{r-1,1-\alpha} ,$$

  • wobei $\chi^2_{r-1,1-\alpha}$ das $(1-\alpha)$-Quantil der $\chi ^2$-Verteilung mit $(r-1)$-Freiheitsgraden bezeichnet.
• Eine ,,Faustregel'' dafür, dass $n$ hinreichend groß ist, ist die Gültigkeit der Ungleichung $np_{0,j}\ge a$ für jedes $j\in\{1,\ldots,r\}$ und für eine Konstante $a>0$.
  • Über die erforderliche Größe von $a>0$ gibt es unterschiedliche Auffassungen in der Literatur, die von $a=2$ bis $a=5$ reichen. Manche Autoren fordern sogar, dass $a=10$.
  • Andere Autoren meinen, dass bei einer großen Zahl von Klassen (etwa $r\ge 10$) auch schon für $a=1$ die Approximation hinreichend gut ist.