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Tschebyschewsche Ungleichung
In diesem Abschnitt wird die sogenannte Tschebyschewsche Ungleichung
diskutiert.
Sie liefert eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, daß
die Abweichungen
der Werte einer
Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert
einen vorgegebenen
Schwellenwert
überschreiten.
- Theorem 4.17
- Sei
eine Zufallsvariable
mit
. Dann gilt für jedes
|
(40) |
- Beweis
-
- Korollar 4.18
- Sei
eine Zufallsvariable
mit
. Dann gilt
Var genau dann,
wenn
|
(41) |
- Beweis
-
- Falls
Var , dann ergibt sich aus
(40), daß
für jedes
.
- Außerdem kann man sich leicht überlegen, daß dann
- Dies impliziert (41).
- Andererseits impliziert (41) die Gültigkeit von
, d.h., ist eine diskrete
Zufallsvariable.
- Aus der Definitionsgleichung
(3) für den Erwartungswert diskreter
Zufallsvariablen ergibt sich dann, daß
.
- Wegen (16) folgt hieraus, daß
Var .
- Beachte
-
- Die Tschebyschewsche Ungleichung (40) ist nicht an
spezielle Annahmen über die Form der Verteilung der
Zufallsvariablen gebunden.
- Der ,,Preis'' hierfür ist, daß (40) in vielen
Fällen zu relativ groben Abschätzungen führt.
- Wenn zusätzliche Annahmen über die Verteilung
von gemacht werden, dann lassen sich
genauere Abschätzungen herleiten bzw. die Wahrscheinlichkeit
läßt sich explizit bestimmen.
- Beispiele
-
- fehlerbehaftete Messungen
- Von einem Meßgerät sei bekannt, daß die
Meßergebnisse fehlerbehaftet sind.
- Die -te Messung einer (unbekannten) Größe
liefere den Wert
für
.
- Die Meßfehler
seien unabhängige und
identisch verteilte Zufallsvariable.
- Über die Verteilung von sei lediglich bekannt,
daß
und Var |
(42) |
- Es soll nun die Frage diskutiert werden,
wieviele Messungen erforderlich sind, um mit Hilfe
der Tschebyschewschen Ungleichung (40)
schlußfolgern zu können, daß das arithmetische Mittel
der zufälligen Meßwerte höchstens mit
Wahrscheinlichkeit um mehr als vom
,,wahren'', jedoch unbekannten Wert abweicht.
- Aus den Korollaren 4.6. und 4.8
ergibt sich, daß
und Var
- Hieraus und aus der Tschebyschewschen Ungleichung
(40) ergibt sich, daß
- Es gilt also
, falls
.
- Aus diesen Überlegungen folgt, daß
die obengenannten Genauigkeitsvorgaben erfüllt
sind, falls Messungen durchgeführt werden.
- normalverteilte Meßfehler
- Beachte
-
- Es gibt keine geschlossene Formel für die Stammfunktion
des Integrals in (43).
- Die Werte
der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
müssen deshalb numerisch berechnet werden.
- Für sind die Werte in Tabelle 1 gegeben.
- Für erhält man dann aus der folgenden
Symmetrieeigenschaft, die sich unmittelbar aus der
Definitionsgleichung (43) ergibt.
- Lemma 4.19
- Für jedes
gilt
|
(44) |
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Roland Maier
2001-08-20