Gleichmäßig beste Tests bei zusammengesetzten Hypothesen

Bisher haben wir in den Abschnitten 4.5.2 - 4.5.5 stets vorausgesetzt, daß sowohl die Null-Hypothese $H_0$ als auch die Alternativ-Hypothese $H_1$ einfache Hypothesen sind. Nun wollen wir auch zusammengesetzte Hypothesen zulassen, wobei wir annehmen, daß $\Theta\subset\mathbb{R}$ eine offene Teilmenge von $\mathbb{R}$ ist.

• Sei $\widehat\theta:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ ein suffizienter Schätzer für $\theta$, und sei $\{P_\theta,\theta\in\Theta\}$ eine parametrische Verteilungsfamilie mit monotonem Likelihood-Quotient in $\widehat\theta$.
• Sei $\theta_0\in\Theta\subset\mathbb{R}$ ein vorgegebener (hypothetischer) Schwellenwert.
• Wir zeigen, daß zum Prüfen der (zusammengesetzten) Hypothesen

  $$H_0:\theta\le\theta_0 \qquad H_1:\theta>\theta_0 \mbox{(mit $\theta\in\Theta\subset\mathbb{R}$)}$$ (60)

  
  
  ein gleichmäßig bester Test $\varphi^*:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ durch den bereits in Korollar 4.1 betrachteten Ansatz (vom NP-Typ) gegeben ist:

  $$\varphi^*(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1\,, &\mbox{falls $\wideha... ...x)=a^*$,}\\ 0\,, &\mbox{falls $\widehat\theta(x)<a^* $,} \end{array}\right.$$ (61)

  
  
  wobei $a^*\in\mathbb{R}$, $q^*\in[0,1]$.
• Der Wert der Gütefunktion des Tests $\varphi^*$ bei $\theta_0$ ist gegeben durch

  $${\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n) =P_{\theta_0}... ...n)>a^*\bigr) +q^*P_{\theta_0}\bigl(\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)=a^*\bigr)\,.$$ (62)

  
  

Theorem 4.6    

1.

Falls $\varphi^*$ durch $(\ref{ney.pea.sta})$ gegeben ist mit $\alpha={\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)>0$, dann ist $\varphi^*$ ein UMP-Test zum Niveau $\alpha$ für die in $(\ref{zus.hyo.zus})$ gegebenen Hypothesen $H_0$ versus $H_1$.

2.

Für beliebige $\theta_0\in\Theta$ und $\alpha\in(0,1)$ gibt es Konstanten $a^*\in\mathbb{R}$ und $q^*\in[0,1]$, so daß

$$\sup\limits_{\theta\le\theta_0}{\mathbb{E}\,}_{\theta}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)=\alpha\,.$$

3.

Die Gütefunktion $\alpha_n:\Theta\to[0,1]$ von $\varphi^*$ mit $\alpha_n(\theta)={\mathbb{E}\,}_{\theta}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)$ ist monoton wachsend.

Beweis

 

• Um die Teilaussage $1$ zu zeigen, wählen wir ein beliebiges $\theta_1\in\Theta$ mit $\theta_1>\theta_0$.
• Aus Korollar 4.1 folgt dann, daß $\varphi^*$ bester Test ist für die einfachen Hypothesen
  $$H_0^\prime:\theta=\theta_0$$   versus$$\qquad H_1^\prime:\theta=\theta_1\,.$$

• Weil $\varphi^*$ nicht von der Wahl des Parameterwertes $\theta_1$ abhängt, ist somit die Teilaussage $1$ für das Testproblem $H_0^\prime$ versus $H_1$ bewiesen.
• Der Beweis von Teilaussage $1$ ist beendet, wenn noch gezeigt wird, daß
  $$\sup\limits_{\theta\le\theta_0}{\mathbb{E}\,}_{\theta}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)\le\alpha\,.$$

• Dies ergibt sich jedoch aus dem Beweis von Teilaussage $3$, d.h. aus der dort nachzuweisenden Monotonie der Gütefunktion von $\varphi^*$.
• Der Beweis von Teilaussage $2$, d.h., die Bestimmung von Konstanten $a^*\in\mathbb{R}$ und $q^*\in[0,1]$, so daß
  $${\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)=\alpha$$
  für beliebige, jedoch vorgegebene $\theta_0\in\Theta$ und $\alpha\in(0,1)$ verläuft genauso der Beweis der Existenzaussage des Fundamentallemmas von Neyman-Pearson (vgl. Theorem 4.2).
• Es bleibt nun noch die Gültigkeit von Teilaussage $3$ zu zeigen, d.h.,

  $${\mathbb{E}\,}_{\theta_1}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)\le {\mathbb{E}\,}_{\theta_2}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)$$ (63)

  
  
  für beliebige Parameterwerte $\theta_1,\theta_2\in\Theta$ mit $\theta_1<\theta_2$.
• Hierfür betrachten wir die einfachen Hypothesen
  $$H_0^*:\theta=\theta_1$$   versus$$\qquad H_1^*:\theta=\theta_2$$
  und vergleichen wir den in $(\ref{ney.pea.sta})$ gegebenen Test $\varphi^*$ mit dem (konstanten) Test $\varphi:\mathbb{R}^n\to[0,1]$, wobei
  $$\varphi(x)={\mathbb{E}\,}_{\theta_1}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)\,,\qquad\forall\, x\in\mathbb{R}^n\,.$$

• Gemäß Korollar 4.1 ist $\varphi^*$ bester Test zum Niveau ${\mathbb{E}\,}_{\theta_1}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)$. Die Macht ${\mathbb{E}\,}_{\theta_2}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)$ von $\varphi^*$ bei $\theta_2$ ist deshalb nicht kleiner als die Macht
  $${\mathbb{E}\,}_{\theta_2}\varphi(X_1,\ldots,X_n)={\mathbb{E}\,}_{\theta_1}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)$$
  von $\varphi$ bei $\theta_2$.
  
  $\Box$

Beachte

 

Auf analoge Weise wie im Beweis von Theorem 4.6 läßt sich zeigen, daß zum Prüfen der Hypothesen

$$H_0:\theta\ge\theta_0$$   versus$$\qquad H_1:\theta<\theta_0$$   $$\mbox{(mit $\theta\in\Theta\subset\mathbb{R}$)}$$$$$$

ein gleichmäßig bester Test $\varphi^*:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ zum Niveau $\alpha={\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi^*(X_1,\ldots,X_n)$ durch den Ansatz

$$\varphi^*(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1\,, &\mbox{falls $\wideha... ...x)=a^*$,}\\ 0\,, &\mbox{falls $\widehat\theta(x)>a^* $,} \end{array}\right.$$

gegeben ist, wobei $a^*\in\mathbb{R}$, $q^*\in[0,1]$.

Beispiel

$\;$ Normalverteilte Stichprobenvariablen

• Sei $\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}=\{$N $(\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R}\}$ die Familie der Normalverteilungen bei vorgegebener (d.h. bekannter) Varianz $\sigma^2$.
• Für einen beliebigen Parameterwert $\mu_0\in\mathbb{R}$ betrachten wir die Hypothesen
  $$H_0:\mu\le\mu_0$$   versus$$\qquad H_1:\mu>\mu_0\,.$$
  Aus Theorem 4.6 ergibt sich dann, daß die bereits in den Abschnitten 4.2.1 und 4.5.3 diskutierte Stichprobenfunktion $\varphi_{b_n}:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ mit
  $$\varphi_{b_n}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1\,, &\mbox{falls $\ov... ..._n>b_n$,}\\ 0\,, &\mbox{falls $\overline x_n\le b_n$,} \end{array}\right.$$
  ein gleichmäßig bester (unverfälschter) Test zum Niveau $\alpha$ ist, wobei $b_n$ das $(1-\alpha)$-Quantil der N $(\mu_0,\sigma^2/n)$-Verteilung ist.
• Analog ist durch
  $$\psi_{c_n}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1\,, &\mbox{falls $\overl... ..._n<c_n$,}\\ 0\,, &\mbox{falls $\overline x_n\ge c_n$,} \end{array}\right.$$
  ein gleichmäßig bester (unverfälschter) Test $\psi_{c_n}:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ zum Niveau $\alpha$ für die Hypothesen
  $$H_0:\mu\ge\mu_0$$   versus$$\qquad H_1:\mu<\mu_0$$
  gegeben, wobei $c_n$ das $\alpha$-Quantil der N $(\mu_0,\sigma^2/n)$-Verteilung ist.