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Lineare Transformation
Ein wichtiger Spezialfall einer zusammengesetzten Abbildung ist
die lineare Transformation von Zufallsvariablen, wobei und
mit
;
.
- Theorem 3.20
-
Sei
eine beliebige Zufallsvariable und
beliebige Zahlen mit . Dann ist eine Zufallsvariable,
und
- die Verteilungsfunktion von ist
gegeben durch
|
(27) |
- falls absolutstetig ist mit der Dichte , dann ist auch
absolutstetig mit der Dichte
|
(28) |
- Beweis
- Falls , dann gilt
Analog ergibt sich für
Damit ist (27) bewiesen. Sei nun absolutstetig. Falls
die Dichte von eine stetige Funktion ist, dann ergibt
sich (28) durch beidseitiges Differenzieren von
(27). Ansonsten nutzt man die Tatsache, daß zwischen
Verteilungsfunktion und Dichte einer Zufallsvariablen eine
eineindeutige Zuordnung besteht, und zeigt, daß das Integral von
die Verteilungsfunktion von ergibt.
- Beispiel
-
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Roland Maier
2001-08-20