Erwartungswert

Bevor wir zur allgemeinen Definition des Erwartungswertes kommen, wollen wir die intuitive Bedeutung dieses Begriffes anhand des folgenden Beispiels erläutern.

Beispiel

$\;$ (wiederholtes Würfeln)

• Betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ),P)$ mit der Grundmenge
  $$\Omega =\Omega _1\times\Omega _2\times\ldots =\left\{\omega: \omega=(\omega_1,\omega_2,\ldots,),\, \omega _{i}\in \{1,2,\ldots,6\}\right\}$$
  und dem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$, das durch
  $$P(\{\omega:\omega\in\Omega,\omega_{i_1}=j_1,\ldots, \omega_{i_k}=j_k\})=\frac{1}{6^k}$$
  gegeben ist; $k\in\mathbb{N}$; $1\le i_1<\ldots<i_k$; $j_1,\ldots,j_k\in\{1,2,\ldots,6\}$.
• Betrachten die Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$, die gegeben seien durch die Projektion $X_i(\omega)=\omega_i$ für $i=1,2,\ldots$. D.h., $X_i$ ist die (zufällige) Augenzahl, die beim $i$-ten Würfeln erzielt wird.

• Es ist nicht schwierig zu zeigen, daß $X_1,X_2,\ldots$ unabhängige (und identisch verteilte) Zufallsvariable sind.
• Betrachten die Zufallsvariable $Y_n=n^{-1}(X_1+\ldots+X_n)$, d.h. die mittlere Augenzahl bei $n$-maligem Würfeln.
• Man kann zeigen, daß es eine ,,nichtzufällige'' Zahl $c\in\mathbb{R}$ gibt, so daß

  $$P(\{\omega:\lim_{n\to\infty} Y_n(\omega)=c\})=1\,,$$ (1)

  
  
  wobei

  $$c=\sum_{i=1}^6 i\,P(X_1=i)=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 i=3.5\,.$$ (2)

  
  

• Die Formeln (1) und (2) bedeuten: Falls die Anzahl $n$ der durchgeführten Versuche immer größer wird, dann
  1. werden die Werte $Y_n(\omega)$ der mittleren Augenzahl $Y_n$ immer weniger von der jeweiligen Ausprägung $\omega$ des Zufalls beeinflußt,
  2. strebt das ,,Zeitmittel'' $Y_n$ bei $n$ Versuchen gegen das ,, Scharmittel'' c jedes (einzelnen) Versuches.
• Die Formeln (1) und (2) sind ein Spezialfall des sogenannten Gesetzes der großen Zahlen, das im weiteren Verlauf der Vorlesung noch genauer diskutiert wird.
• Das Scharmittel $c$ in (2) wird Erwartungswert der Zufallsvariablen $X_1$ genannt und mit ${\mathbb{E}\,}X_1$ bezeichnet.

Auf analoge Weise wird der Begriff des Erwartungswertes für beliebige (diskrete bzw. absolutstetige) Zufallsvariable eingeführt.

Definition 4.1

$\;$ Betrachten einen beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$.

1. Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine diskrete Zufallsvariable mit $P(X\in C) =1$ für eine abzählbare Menge $C\subset \mathbb{R}$. Dann heißt das gewichtete Mittel

   $${\mathbb{E}\,}X= \sum _{x\in C}xP(X=x)$$ (3)

   
   
   der Erwartungswert von $X$, wobei vorausgesetzt wird, daß

   $$\sum\limits _{x\in C}\vert x\vert P(X=x)<\infty\,.$$ (4)

   
   

2. Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine absolutstetige Zufallsvariable mit der Dichte $f_X(x)$. Dann heißt das Integral

   $${\mathbb{E}\,}X=\int\limits ^{\infty}_{-\infty} x f_X(x)\, dx$$ (5)

   
   
   der Erwartungswert von $X$, wobei vorausgesetzt wird, daß

   $$\int\limits ^{\infty}_{-\infty} \vert x\vert f_X(x)\, dx<\infty\,.$$ (6)

   
   

Beachte

 

• Die Summe in (4) bzw. das Integral in (6) kann man als Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert$ der Zufallsvariablen $\vert X\vert$ auffassen.
• Man kann sich leicht Beispiele überlegen, bei denen die Summierbarkeitsbedingung (4) bzw. die Integrierbarkeitsbedingung (6) verletzt ist.
• Falls die Zufallsgröße $X$ nur nichtnegative Werte annimmt, d.h. $P(X\ge 0)=1$, dann kann man den Begriff des Erwartungswertes auch einführen, wenn die Bedingung (4) bzw. (6) nicht erfüllt ist.
• In diesem Fall wird ${\mathbb{E}\,}X=\infty$ gesetzt.
• Sei $X$ beispielsweise eine absolutstetige Zufallsvariable mit der Dichte
  $$f_X(x)=\frac{1}{\pi(x^2+1)}\qquad\forall x\in\mathbb{R}\,,$$
  d.h. $X$ ist Cauchy-verteilt, vgl. Abschnitt 3.6.4.
• Dann gilt zwar $P(0<\vert X\vert<\infty)=1$, jedoch
  

  $${\mathbb{E}\,}\vert X\vert = \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert x\vert\frac{1}{ \pi (1+x^{2})}\, dx$$

  $$> \int\limits ^{\infty }_{0}\frac{x}{\pi (1+x^{2})}\, dx$$

  $$= \frac{1}{\pi }\lim _{t\to\infty} \left[\frac{1}{2}\log (1+x^{2})\right]_{0}^{t} =\frac{1}{2\pi }\lim _{t\to\infty}\log (1+t^{2})=\infty\,.$$

  
  

Beispiele

$\;$ Wir zeigen nun anhand zweier Beipiele, wie die Formeln (3) und (5) zur Bestimmung des Erwartungswertes genutzt werden können.

1. Binomialverteilung
   Sei $X$ binomialverteilt mit den Parametern $n\in\mathbb{N}$ und $p\in[0,1]$. Dann ergibt sich aus (3), daß
   

   $${\mathbb{E}\,}X = \sum\limits _{i=1}^n i {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}$$

   $$= n\, p\sum\limits _{i=1}^n {n-1\choose i-1}p^{i-1}(1-p)^{(n-1)-(i-1)}$$

   $$= n\, p\sum\limits _{i=0}^{n-1} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}$$

   $$= n\, p\; (p+(1-p))^{n-1}=n\, p\,.$$

   
   

2. Normalverteilung
   Sei $X$ normalverteilt mit den Parametern $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma>0$. Dann ergibt sich aus (5), daß
   

   $${\mathbb{E}\,}X = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }} \int\limits ^{\infty }_{-\infty }x ... ...\frac{1}{2} \Bigl(\underbrace{\frac{x-\mu }{\sigma }}_{=v}\Bigr)^{2}\Bigr)\, dx$$

   $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits ^{\infty }_{-\infty } (\sigma v+\mu )\exp \Bigl(-\frac{1}{2}v^{2}\Bigr)\, dv$$

   $$= \frac{\sigma }{\sqrt{2\pi }} \underbrace{\int\limits ^{\infty }_{... ...ty }_{-\infty } \exp \Bigl(-\frac{1}{2}v^{2}\Bigr)\, dv}_{=\sqrt{2\pi }}=\mu\,.$$

   
   

Beachte

 

• Die in (1) und (2) angegebenen Formeln für den Erwartungswert von diskreten bzw. absolutstetigen Zufallsvariablen sind Spezialfälle eines allgemeineren (und damit einheitlichen) Zuganges zum Begriff des Erwartungswertes für beliebige Zufallsvariablen.
• Dieser allgemeinere Zugang beruht jedoch auf einem (im Vergleich zum Riemann-Integral) modifizierten Integral-Begriff, der über den Rahmen der einführenden Stochastik-Vorlesung hinausgeht.
• Sei nämlich $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion $F_X$. Dann heißt

  $${\mathbb{E}\,}X= \int\limits ^{\infty }_{-\infty }x\, dF_{X}(x)$$ (7)

  
  
  der Erwartungswert von $X$, wobei das Integral in (7) ein sogenanntes Stieltjes-Integral ist.
• Schließlich sei vermerkt, daß es noch eine weitere (mathematische äquivalente) Definitionsmöglichkeit des Erwartungswertes ${\mathbb{E}\,}X$ von $X$ gibt, und zwar als ein sogenanntes Lebesgue-Integral

  $${\mathbb{E}\,}X=\int\limits _\Omega X(\omega) P[d\omega)$$ (8)

  
  
  über dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$.
• Insbesondere kann man zeigen, daß die Integrale in (7) und (8) übereinstimmen.