Beispiel$\;$ (Buffonsches Nadelexperiment)

• Das Buffonsche Nadelexperiment ist ein Beispiel, bei dem das starke Gesetz der großen Zahlen angewendet wird.
• Es ist eine der ersten numerischen Methoden, die auf stochastischen Gesetzmäßigkeiten beruht.
• Der ,,Erfinder'' ist Georges Louis Leclerc Comte de Buffon (1707-1788).
• Heute sind solche Verfahren unter der Bezeichnung ,,Monte-Carlo-Simulation'' bekannt.
• Betrachten das System
  $$K=\{(x,y):\,(x,y)\in\{\ldots,-1,0,1,\ldots\} \times\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^2$$
  von parallelen und äquidistanten (vertikalen) Geraden in der euklidischen Ebene $\mathbb{R}^2$.
• Werfen eine Nadel mit der Länge 1 ,,willkürlich'' in die Ebene $\mathbb{R}^2$, wobei mit ,,willkürlich'' das folgende stochastische Modell gemeint ist.
• Betrachten zwei Zufallsvariable $S$ und $T$, die die zufällige Lage der Nadel beschreiben, wobei
  • $S$ der (orthogonale) Abstand des Nadelmittelpunktes zur nächsten linksliegenden Nachbargeraden von $K$ ist,
  • $T$ der Winkel ist, den die Nadel zum Lot auf die Geraden von $K$ bildet, und
  • die Zufallsvariablen $S$ und $T$ unabhängig und gleichverteilt seien auf den Intervallen $[0,1]$ bzw. $[-\pi/2,\pi/2]$.
• Bestimmen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
  $$A=\Bigl\{0<S<\frac{1}{2}\,\cos T\Bigr\}\cup\Bigl\{1-\frac{1}{2}\,\cos T<S<1\Bigr\}\,,$$
  daß die willkürlich geworfene Nadel eine der Geraden von $K$ schneidet.
• Es gilt
  

  $$P(A) = P\Bigl(0<S<\frac{1}{2}\,\cos T\Bigr)+P\Bigl(1-\frac{1}{2}\,\cos T<S<1\Bigr)$$

  $$= \frac{1}{\pi}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} P\Bigl(0<S<\frac{1}{2}... ...}{\pi}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} P\Bigl(1-\frac{1}{2}\,\cos t<S<1\Bigr)\, dt$$

  $$= \frac{1}{\pi}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2}\,\cos t\, dt +\frac{1}{\pi}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2}\,\cos t\, dt$$

  $$= \frac{1}{\pi}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} \cos t\, dt =\frac{2}{\pi}\;.$$

  
  

• Aus der Gleichung $P(A)=2/\pi$ ergibt sich nun eine Methode zur experimentellen Bestimmung der Zahl $\pi$, die auf dem Gesetz der großen Zahlen beruht.
• Seien $(S_1,T_1),\ldots,(S_n,T_n)$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvektoren (mit der gleichen Verteilung wie $(S,T)$), die wir als das Ergebnis von $n$ (unabhängig durchgeführten) Nadelexperimenten auffassen.
• Dann sind $X_1,X_2,\ldots,X_n$ mit
  $$X_i=\left\{\begin{array}{cc} 1\,, &\mbox{falls $S_i<\frac{1}{2}\cos T_i$ oder $1-\frac{1}{2}\cos T_i<S_i$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$
  unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X_i=2/\pi$.
• Aus Theorem 4.22 ergibt sich also, daß das arithmetische Mittel $Y_n=n^{-1}\sum\limits _{i=1}^n X_i$ fast sicher gegen die Zahl $2/\pi$ strebt.
• D.h., für große $n$ ist $2/Y_n$ mit hoher Wahrscheinlichkeit eine gute Näherung der Zahl $\pi$.

Beachte

$\;$ Im Internet gibt es zahlreiche Seiten, wo dieses Verfahren implementiert worden ist und mittels JAVA-Applets auch selbst durchgeführt werden kann, vgl. beispielsweise

• http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html

Ein anderer Algorithmus zur experimentellen Bestimmung der Zahl $\pi$ hängt ebenfalls mit einem einfachen geometrischen Sachverhalt zusammen.

• Betrachten das Quadrat
  $$B=[-1,1]\times[-1,1]\subset\mathbb{R}^2$$
  und den Kreis
  $$C=\{(x,y):\, (x,y)\in B,\, x^2+y^2<1\}\,.$$

• Werfen einen Punkt willkürlich in die Menge $B$.
• D.h., wir betrachten zwei unabhängige Zufallsvariable $S$ und $T$, die jeweils gleichverteilt auf dem Intervall $[-1,1]$ sind.
• Bestimmen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
  $$A=\{(S,T)\in C\}=\{S^2+T^2<1\}\,,$$
  daß der ,,zufällige Punkt'' $(S,T)$ in $C\subset B$ liegt.
• Es gilt
  $$P(A)=P(S^2+T^2<1)=\;\ldots\;=\frac{\vert C\vert}{\vert B\vert}=\frac{\pi}{4}\;,$$
  wobei $\vert B\vert$, $\vert C\vert$ den Flächeninhalt von $B$ bzw. $C$ bezeichnet.
• Ähnlich wie beim Buffonschen Nadelexperiment ergibt sich nun aus der Gleichung $P(A)=\pi/4$ eine weitere Methode zur experimentellen Bestimmung der Zahl $\pi$, die auf dem Gesetz der großen Zahlen beruht und die sich leicht implementieren läßt.
• Seien $(S_1,T_1),\ldots,(S_n,T_n)$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvektoren (mit der gleichen Verteilung wie $(S,T)$), die wir als das Ergebnis von $n$ (unabhängig durchgeführten) Experimenten auffassen.
• Dann sind $X_1,X_2,\ldots,X_n$ mit
  $$X_i=\left\{\begin{array}{cc} 1\,, &\mbox{falls $S_i^2+T_i^2<1$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$
  unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}X_i=\pi/4$.
• Aus Theorem 4.22 ergibt sich also, daß das arithmetische Mittel $Y_n=n^{-1}\sum\limits _{i=1}^n X_i$ fast sicher gegen die Zahl $\pi/4$ strebt.
• D.h., für große $n$ ist $4Y_n$ mit hoher Wahrscheinlichkeit eine gute Näherung der Zahl $\pi$.

Beachte

 

1. Bei der Implementierung dieser Monte-Carlo-Simulation kann man wie folgt vorgehen.
   • Erzeuge $2n$ auf $[0,1]$ gleichverteilte Pseudozufallszahlen $z_1,\ldots,z_{2n}$ mit einem Zufallszahlengenerator.
   • Setze $s_i=2z_i-1$ und $t_i=2z_{n+i}-1$ für $i=1,\ldots,n$.
   • Setze
     $$x_i=\left\{\begin{array}{cc} 1\,, &\mbox{falls $s_i^2+t_i^2<1$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$

   • Berechne $4(x_1+\ldots+x_n)/n$.

2. Ein JAVA-Applet, mit dem dieses Simulationsverfahren selbst durchgeführt werden kann, findet man beispielsweise auf der Internet-Seite:
   • http://www.daimi.aau.dk/~u951581/pi/MonteCarlo/pimc.html