Zentraler Grenzwertsatz

Neben der stochastischen Konvergenz und der fast sicheren Konvergenz, die in Abschnitt 4.3.2 eingeführt wurden, gibt es noch weitere Konvergenzarten von Zufallsvariablen.

Wir diskutieren nun

• den Begriff Konvergenz in Verteilung und in diesem Zusammenhang
• eine weitere Kategorie von Grenzwertsätzen, den sogenannten zentralen Grenzwertsatz.
• Dabei wird eine andere Normierung der Summe $X_1+\ldots+X_n$ als beim Gesetz der großen Zahlen betrachtet.
• Während die Normierung $1/n$ beim Gesetz der großen Zahlen zu dem deterministischen Grenzwert $\mu$ führt, wird nun die (kleinere) Normierung $1/\sqrt{n}$ betrachtet, die zu einem nichtdeterministischen, d.h. zufälligen Grenzwert führt.

In Verallgemeinerung des zentralen Grenzwertsatzes von DeMoivre-Laplace, der bereits in Abschnitt 3.2.3 erwähnt wurde, gilt

Theorem 4.24

$\;$ $\;$ Sei $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit ${\mathbb{E}\,}(X_i^2)<\infty$ und Var $X_i>0$ für alle $i=1,2,\ldots$; $\mu={\mathbb{E}\,}X_i$, $\sigma^2=$Var $X_i$. Dann gilt für jedes $x\in\mathbb{R}$

$$\lim\limits _{n\to\infty}P\Bigl(\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \le x\Bigr)=\Phi(x)\,,$$ (48)

wobei $\Phi(x)$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist.

Beweis

$\;$ Der Beweis von Theorem 4.24 ist tiefliegend und geht über den Rahmen dieser einführenden Vorlesung hinaus.

Korollar 4.25

Unter den Voraussetzungen von Theorem 4.24 gilt

$$\lim\limits _{n\to\infty}P\Bigl(\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} <x\Bigr)=\Phi(x)$$ (49)

für jedes $x\in\mathbb{R}$, und

$$\lim\limits _{n\to\infty}P\Bigl(a\le\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \le b\Bigr)=\Phi(b)-\Phi(a)$$ (50)

für beliebige $a,b\in\mathbb{R}$ mit $a\le b$.

Beweis

$\;$ Die Behauptung (49) ergibt sich aus (48), weil

$$\lim\limits _{n\to\infty}P\Bigl(\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} <x\Bigr) = \lim\limits _{n\to\infty}\lim\limits _{h\downarrow 0} P\Bigl(\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \le x-h\Bigr)$$

$$= \lim\limits _{h\downarrow 0}\lim\limits _{n\to\infty} P\Bigl(\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \le x-h\Bigr)$$

$$\stackrel{(\ref{zgws})}{=} \lim\limits _{h\downarrow 0}\Phi(x-h)$$

$$= \Phi(x) \,.$$

Die Behauptung (50) ergibt sich nun aus (48) und (49), denn es gilt

$${ \lim\limits _{n\to\infty}P\Bigl(a\le\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \le b\Bigr)}$$

$$= \lim\limits _{n\to\infty}\Bigl(P\Bigl(\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu... ... \le b\Bigr)-P\Bigl(\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} <a\Bigr)\Bigr)$$

$$= \lim\limits _{n\to\infty}P\Bigl(\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu}{\sig... ...mits _{n\to\infty} P\Bigl(\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} <a\Bigr)$$

$$= \Phi(b)-\Phi(a)$$

Beachte

$\;$ Es ist die folgende Sprechweise üblich: Falls (48) für jedes $x\in\mathbb{R}$ gilt, dann sagt man, daß

$$Y_n=\frac{(X_1+\ldots+X_n)-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$$

in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung (bzw. gegen eine N$(0,1)$-verteilte Zufallsvariable $Y$) strebt.

Allgemein definiert man den Begriff der Verteilungskonvergenz von Zufallsvariablen wie folgt.

Definition 4.26

$\;$ Sei $Y,Y_1,Y_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Folge von Zufallsvariablen. Man sagt, daß die Zufallsvariablen $Y_1,Y_2,\ldots$ in Verteilung gegen die Zufallsvariable $Y$ konvergieren, falls

$$\lim\limits _{n\to\infty} P(Y_n\le y)=P(Y\le y)$$ (51)

für jedes $y\in\mathbb{R}$ gilt, das ein Stetigkeitspunkt der Verteilungsfunktion $F_Y$ ist, d.h. $\lim_{h\downarrow 0}F_Y(y-h)=F_Y(y)$. $\;$ Schreibweise: $Y_n \overset{\textrm{d}}{\longrightarrow} Y$

Beachte

 

• Die Formel (51) ist offenbar gleichbedeutend mit
  $$\lim\limits _{n\to\infty} F_{Y_n}(y)=F_Y(y)$$
  für jeden Stetigkeitspunkt $y\in\mathbb{R}$ der Verteilungsfunktion $F_Y$.
• Man kann darüber hinaus zeigen, daß dies wiederum gleichbedeutend ist mit

  $$\lim\limits _{n\to\infty} \int\limits _{-\infty}^\infty g(y) \, dF_{Y_n}(y)= \int\limits _{-\infty}^\infty g(y) \, dF_Y(y)$$ (52)

  
  
  für jede beschränkte und stetige Funktion $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, wobei die Integrale in (52) sogenannte Stieltjes-Integrale sind.
• In diesem Zusammenhang spricht man auch von der schwachen Konvergenz der Verteilung von $Y_n$ gegen die Verteilung von $Y$.

Beispiel

$\;$ (fehlerbehaftete Messungen)

• So wie in dem Beispiel, das bereits in Abschnitt 4.3.1 betrachtet wurde, nehmen wir an, daß die $n$-te Messung einer (unbekannten) Größe $\mu\in\mathbb{R}$ den Wert $\mu+X_n(\omega)$ liefert für $\omega \in \Omega$.
• Die Meßfehler $X_1,X_2,\ldots$ seien unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable.
• Über die Verteilung von $X_n$ sei lediglich bekannt, daß

  $${\mathbb{E}\,}X_n=0 X_n= \sigma^2\,.$$ (53)

  
  

• Ein Ansatz zur ,,Schätzung'' der unbekannten Größe $\mu$ ist durch das arithmetische Mittel
  $$Y_n=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n(\mu+X_i)$$
  der zufälligen Meßwerte $\mu+X_i$ gegeben.
• Mit Hilfe von Korollar 4.25 läßt sich die Wahrscheinlichkeit $P(\vert Y_n-\mu\vert>\varepsilon)$, daß der Schätzfehler $\vert Y_n-\mu\vert$ größer als $\varepsilon$ ist, näherungsweise bestimmen.
• Und zwar gilt für große $n$
  

  $$P(\vert Y_n-\mu\vert>\varepsilon) = P\Bigl(\Bigl\vert\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sigma\sqrt{n}}\Bigr\vert> \frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)$$

  $$= 1-P\Bigl(\Bigl\vert\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sigma\sqrt{n}}\Bigr\vert\le \frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)$$

  $$= 1-P\Bigl(-\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\le \frac{X_1+\ldots+X_n}{\sigma\sqrt{n}}\le \frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)$$

  $$\stackrel{(\ref{zgws2})}{\approx} 1-\Bigl(\Phi\Bigl(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)- \Phi\Bigl(-\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)\Bigr)$$

  $$= 2 \Bigl(1-\Phi\Bigl(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)\Bigr)\,.$$