Gesetz der großen Zahlen

Wir diskutieren nun zwei allgemeinere Varianten des Gesetzes der großen Zahlen, das bereits in Abschnitt 4.1.1 im Zusammenhang mit dem Beispiel des wiederholten Würfelns erwähnt wurde. Dabei

• betrachten wir eine beliebige Folge von Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ mit dem gleichen Erwartungswert $\mu={\mathbb{E}\,}X_i$ für alle $i=1,2,\ldots$ und
• untersuchen die Frage, unter welchen Bedingungen und in welchem Sinne das arithmetische Mittel
  $$Y_n=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n X_i$$
  gegen $\mu$ strebt, falls $n$ unendlich groß wird.

Aus der Tschebyschewschen Ungleichung (40) ergibt sich

Theorem 4.20

$\;$ Sei $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Folge von Zufallsvariablen mit dem gleichen Erwartungswert $\mu={\mathbb{E}\,}X_i$ und mit ${\mathbb{E}\,}(X_i^2)<\infty$ für alle $i=1,2,\ldots$.

1. Falls

   $$\lim\limits _{n\to\infty} Y_n=0\,,$$ (45)

   
   
   dann gilt für jedes $\varepsilon>0$

   $$\lim\limits _{n\to\infty}P(\vert Y_n-\mu\vert>\varepsilon)=0\,.$$ (46)

   
   

2. Die Bedingung (45) ist insbesondere dann erfüllt, wenn die Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots$ unabhängig sind mit der gleichen Varianz $\sigma^2=$Var $X_i$ für alle $i=1,2,\ldots$.

Beweis

 

• Mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (26) kann man sich leicht überlegen, daß ${\mathbb{E}\,}(Y_n^2)<\infty$ für jedes $n=1,2,\ldots$ gilt.
• Weil außerdem ${\mathbb{E}\,}Y_n=\mu$ für jedes $n=1,2,\ldots$, ergibt sich (46) unmittelbar aus (40) und (45).
• Die Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots$ seien nun unabhängig mit der gleichen Varianz $\sigma^2=$Var $X_i$ für alle $i=1,2,\ldots$.
• Dann ergibt sich aus (17) und (20), daß
  

  $$Y_n = \frac{1}{n^2}\sum\limits _{i=1}^n X_i$$

  $$= \frac{1}{n^2}\, n\sigma^2$$

  $$= \frac{\sigma^2}{n}\longrightarrow 0$$

  
  
  für $n\to\infty$.

Definition 4.21

$\;$ Man sagt, daß die Zufallsvariablen $Y_1,Y_2,\ldots$ stochastisch gegen die Zahl $\mu\in\mathbb{R}$ konvergieren, falls (46) für jedes $\varepsilon>0$ gilt.$\;$ Schreibweise: $Y_n \overset{\textrm{st}}{\longrightarrow} \mu$

Beachte

 

• Die stochastische Konvergenz wird auch Konvergenz in Wahrscheinlichkeit genannt.
• Die Konvergenz (46) des arithmetischen Mittels $Y_n$ gegen den Erwartungswert $\mu$ heißt das schwache Gesetz der großen Zahlen.

Neben der stochastischen Konvergenz gibt es noch weitere Konvergenzarten von Zufallsvariablen. Insbesondere gilt neben Theorem 4.20 der folgende Grenzwertsatz.

Theorem 4.22

$\;$ Sei $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit ${\mathbb{E}\,}\vert X_i\vert<\infty$ für alle $i=1,2,\ldots$; $\mu={\mathbb{E}\,}X_i$. Für das arithmetische Mittel $Y_n=n^{-1}\sum\limits _{i=1}^n X_i$ gilt dann

$$P\Bigl(\lim\limits _{n\to\infty}Y_n=\mu\Bigr)=1\,.$$ (47)

Beweis

$\;$ Der Beweis von Theorem 4.22 ist tiefliegend und geht über den Rahmen dieser einführenden Vorlesung hinaus.

Definition 4.23

$\;$ Man sagt, daß die Zufallsvariablen $Y_1,Y_2,\ldots$ fast sicher gegen die Zahl $\mu\in\mathbb{R}$ konvergieren, falls (47) gilt.$\;$ Schreibweise: $Y_n \overset{\textrm{f.s.}}{\longrightarrow} \mu$

Beachte

 

• Die fast sichere Konvergenz wird auch Konvergenz mit Wahrscheinlichkeit 1 genannt.
• Man kann zeigen, daß die fast sichere Konvergenz $Y_n \overset{\textrm{f.s.}}{\longrightarrow} \mu$ einer Folge von Zufallsvariablen $Y_1,Y_2,\ldots$ stets die stochastische Konvergenz $Y_n \overset{\textrm{st}}{\longrightarrow} \mu$ impliziert.
• Die Konvergenz (47) des arithmetischen Mittels $Y_n$ gegen den Erwartungswert $\mu$ heißt deshalb das starke Gesetz der großen Zahlen.
• Schließlich sei noch erwähnt, daß man in Theorem 4.22 (analog zur Situation in Theorem 4.20) die Bedingungen der Unabhängigkeit bzw. der identischen Verteiltheit der Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots$ durch schwächere Bedingungen ersetzen kann, ohne daß dabei die Gültigkeit von (47) verloren geht.