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Maximum-Likelihood-Methode
- Eine andere Methode zur Gewinnung von Schätzern für die
unbekannten Komponenten des Parametervektors
ist die
Maximum-Likelihood-Methode.
- Genauso wie bei der Momentenmethode wird auch bei der
Maximum-Likelihood-Methode das Ziel verfolgt,
so zu
schätzen, daß eine möglichst gute Anpassung der
Modellcharakteristiken
bzw.
an die
beobachteten Daten erreicht wird.
- Dabei wird bei der Maximum-Likelihood-Methode die
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten bestimmter (infinitesimaler)
Ereignisse maximiert.
- Als der ,,Erfinder'' der Maximum-Likelihood-Methode gilt Sir
Ronald Aylmer Fisher (1890-1962).
Wir betrachten nur die beiden (grundlegenden) Fälle, daß die
Stichprobenvariablen
entweder diskret oder
absolutstetig sind. D.h., für jedes
gelte
entweder
-
für eine abzählbare Menge
,
- wobei wir mit
die
Wahrscheinlichkeitsfunktion von
bezeichnen;
oder
-
für jedes
,
- wobei
die Dichte von
ist.
- Definition 5.18
Die Abbildung
sei durch die folgende
Vorschrift gegeben.
- Falls
diskret ist, dann gelte
 |
(33) |
- Falls
absolutstetig ist, dann gelte
 |
(34) |
Für jeden Vektor
heißt die Abbildung
die Likelihood-Funktion
der Stichprobe
.
Die Idee der Maximum-Likelihood-Methode besteht nun darin, für
jede (konkrete) Stichprobe
einen
Parametervektor
zu bestimmen, so daß der Wert
der Likelihood-Funktion möglichst groß
wird. Dies führt zu der folgenden
- Definition 5.19
Sei
eine Stichprobenfunktion
mit
 |
(35) |
Der Zufallsvektor
wird dann Maximum-Likelihood-Schätzer von
genannt.
- Beispiel
-
- Beachte
-
- Beispiele
-
- Bernoulli-Verteilung
- Betrachten die Familie
Bin
der Bernoulli-Verteilungen.
- Dann gilt
- Die Likelihood-Funktion
ist also gegeben durch
- Falls
bzw.
, dann
sieht man leicht, daß
die Abbildung
an der Stelle
bzw.
ein
(eindeutig bestimmtes) Maximum hat.
- Sei nun
mit
. Dann ist
eine stetige Funktion im Intervall
, und es gilt

bzw.
- Die Abbildung
hat also ein Maximum im
Intervall
.
- Durch Differenzieren nach
ergibt sich
- Weil die Gleichung
die (eindeutig bestimmte) Lösung
hat, nimmt die Abbildung
an der Stelle
ihr Maximum an.
- Also ist der Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter
gegeben durch
- Binomial-Verteilung
- Für eine beliebige, jedoch vorgegebene
(d.h. bekannte) natürliche Zahl
betrachten wir nun
die Familie
Bin
von Binomialerteilungen.
- Dann gilt
- Genauso wie in Beispiel 1 ergibt sich der
Maximum-Likelihood-Schätzer
für den (unbekannten) Parameter
.
- Poisson-Verteilung
- Betrachten die Familie
Poi
der Poisson-Verteilungen.
- Dann gilt
- Auf die gleiche Weise wie in den Beispielen 1 und 2 ergibt sich der
Maximum-Likelihood-Schätzer
für den Parameter
.
- Normalverteilung
- Betrachten nun die Familie
N
der Normalverteilungen.
- Dann gilt
- Die Likelihood-Funktion
ist somit gegeben durch
- Für die Loglikelihood-Funktion gilt
- Durch Differenzieren nach
ergibt sich
- Für jedes (fest vorgegebene)
nimmt also die
Abbildung
ihr Maximum an der Stelle
an.
- Es ist nun noch das Maximum der Abbildung
 |
(37) |
zu bestimmen.
- Weil
gilt, können wir annehmen, daß
nicht alle Stichprobenwerte
gleich sind.
- Dann ist die Abbildung (37) stetig für alle
,
und es gilt

bzw.
- Die Abbildung (37) hat also ein Maximum im
Intervall
.
- Durch Differenzieren nach
ergibt sich
- Weil vorausgesetzt wird, daß nicht alle Stichprobenwerte
gleich sind, gilt
- Deshalb hat die Gleichung
die (eindeutig bestimmte) Lösung
- Hieraus ergeben sich die Maximum-Likelihood-Schätzer
für die Parameter
und
.
- Gleichverteilung
- Betrachten die Familie
U
von Gleichverteilungen.
- Dann gilt
- Die Likelihood-Funktion
ist somit gegeben durch
- Weil die Abbildung
monoton
fallend ist für
, ergibt
sich der Maximum-Likelihood-Schätzer
für den Parameter
.
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Roland Maier
2001-08-20