Schätzung von Parametern

In diesem Abschnitt setzen wir zusätzlich voraus, daß

• die Verteilungsfunktion $F$ der Stichprobenvariablen $X_i$ zu einer vorgegebenen parametrischen Familie von Verteilungsfunktionen $\{F_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ gehört,
• wobei die Menge $\Theta\subset\mathbb{R}^m$ Parameterraum genannt wird und $m\in\mathbb{N}$ eine beliebige, jedoch vorgegebene natürliche Zahl ist.
• Mit anderen Worten: Es gelte $F=F_\theta$ für ein $\theta\in\Theta$,
• wobei jedoch der Parametervektor $\theta$ (bzw. ein Teil seiner Komponenten) unbekannt sei
• und aus den beobachteten Daten $x_1,\ldots,x_n$ geschätzt werden soll.

Wir nehmen an, daß der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$, über dem die Stichprobenvariablen $X_1,X_2,\ldots$ definiert sind, der sogenannte kanonische Wahrscheinlichkeitsraum ist, vgl. auch das in Abschnitt 4.1.1 diskutierte Beispiel des wiederholten Würfelns. Das heißt, daß

• $\Omega=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\ldots=\{\omega:\omega= (\omega_1,\omega_2,\ldots),\; \omega_i\in\mathbb{R}\;\;\forall i=1,2,\ldots\}$
• und $\mathcal{F}=\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\ldots$,
• wobei das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ gegeben ist durch:

  $$P(\{\omega:\omega\in\Omega, \omega_{i_1}\le x_{i_1},\ldots,\omega_{i_k}\le x_{i_k}\})=F_\theta(x_{i_1})\cdot\ldots\cdot F_\theta(x_{i_k})\,.$$ (25)

  
  

Beachte

 

• Das in (25) definierte Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ bezeichnen wir im folgenden gelegentlich mit $P_\theta$, um zu betonen, daß $P_\theta$ von dem (unbekannten) Parametervektor $\theta\in\Theta$ abhängt.
• Entsprechend verwenden wir die Bezeichnungen ${\mathbb{E}\,}_\theta$ und Var $_\theta$ für Erwartungswert bzw. Varianz.
• Falls keine Verwechslung möglich ist, dann bezeichnen wir auch die Verteilung einer (einzelnen) Stichprobenvariablen $X_i$ mit $P_\theta$, d.h. $P_\theta(X_i\le x_i)=P_\theta((-\infty,x_i])=F_\theta(x_i)$.

Beispiel

$\;$ Die wichtigste parametrische Familie $\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Verteilungen, die in diesem Abschnitt betrachtet wird, ist die Normalverteilungsfamilie

$$\mbox{$\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}=\{$N$(\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R},\, \sigma^2> 0\}\,.$}$$ (26)

In diesem Fall ist $m=2$, $\Theta=\mathbb{R}\times(0,\infty)$ und $(\theta_1,\theta_2)=(\mu,\sigma^2)$.

Beachte

$\;$ Weitere Beispiele von Familien parametrischer Verteilungen, die im bisherigen Verlauf der Vorlesung betrachtet wurden, sind die

• hypergeometrische Verteilung,
• Binomialverteilung,
• Poisson-Verteilung,
• Exponentialverteilung,
• (diskrete bzw. stetige) Gleichverteilung.