Modellbeschreibung

In diesem Abschnitt setzen wir (so wie in Abschnitt 5.2) voraus, daß

• die Verteilungsfunktion $F$ der Stichprobenvariablen $X_i$ zu einer vorgegebenen parametrischen Familie von Verteilungsfunktionen $\{F_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ gehört; $\Theta\subset\mathbb{R}^m$.

Dabei nehmen wir (zur Vereinfachnug der Darlegungen) an, daß

• jeweils nur eine einzelne Komponente $\theta_j$ des Parametervektors $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_m)$ aus den beobachteten Daten $x_1,\ldots,x_n$ geschätzt werden soll; $j\in\{1,\ldots,m\}$.

Genauso wie in Abschnitt 5.2 nehmen wir an, daß

• der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$, über dem die Stichprobenvariablen $X_1,X_2,\ldots$ definiert sind, der kanonische Wahrscheinlichkeitsraum dieser Zufallsvariablen ist.

Anstelle eine (einzelne) Stichprobenfunktion zu betrachten, wie wir es in den Abschnitten 5.1 und 5.2 tun, betrachten wir nun

• zwei Stichprobenfunktionen $\underline\theta:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ und $\overline\theta:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, so daß

  $$\underline\theta(x_1,\ldots,x_n)\le\overline\theta(x_1,\ldots,x_n) \qquad\forall (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\,.$$ (38)

  
  

Definition 5.20

$\;$ Sei $\gamma\in(0,1)$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene Zahl. Dann heißt das zufällige Intervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ Konfidenzintervall für $\theta_j$ zum Niveau $\gamma$, falls

$$P_\theta (\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)\le\theta_j\le\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)) \ge\gamma$$ (39)

für jedes $\theta\in\Theta$.

Beachte

 

• Die Stichprobenfunktionen $\underline\theta$ und $\overline\theta$ sind nicht eindeutig bestimmt.
• Sie sollten so gewählt werden, daß das Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ bei gegebenem Niveau $\gamma$ möglichst kurz ist.
• Weil das Konfidenzintervall möglichst kurz sein soll, wird anstelle von (39) manchmal auch die folgende Bedingung betrachtet:

  $$\inf\limits _{\theta\in\Theta}P_\theta (\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)\le\theta_j\le\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)) =\gamma\,.$$ (40)

  
  

• Wenn (bei vorgegebenem $\theta$) die Verteilung der Zufallsvariablen $\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ und $\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ schwierig handhabbar bzw. unbekannt ist, d.h., wenn es nicht möglich ist, die Gültigkeit von (39) bzw. (40) nachzuweisen, dann kann beispielsweise die folgende Bedingung betrachtet werden:

  $$\lim\limits _{n\to\infty} P_\theta (\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)\le\theta_j\le\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)) \ge\gamma$$ (41)

  
  
  für jedes $\theta\in\Theta$.
• Falls (41) gilt, dann nennt man $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ Konfidenzintervall für $\theta_j$ zum asymptotischen Niveau $\gamma$ (bzw. kurz asymptotisches Konfidenzintervall).

Die praktische Berechnung eines (konkreten) Konfidenzintervalls $\bigl(\underline\theta(x_1,\ldots,x_n),\overline\theta(x_1,\ldots,x_n)\bigr)$ für $\theta_j$ auf der Basis einer (konkreten) Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ besteht aus den folgenden Schritten:

1. Bestimmen zwei Stichprobenfunktionen $\underline\theta:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ und $\overline\theta:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, so daß
   • (38) gilt und
   • eine der Bedingungen (39)-(41) erfüllt ist.
2. Berechnen die Funktionswerte $\underline\theta(x_1,\ldots,x_n)$ und $\overline\theta(x_1,\ldots,x_n)$.