Konfidenzintervalle bei Normalverteilung; Quantilfunktion

In diesem Abschnitt nehmen wir an, daß die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ normalverteilt sind, d.h., es gelte

   $$\mbox{$\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}=\{$N$(\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R},\, \sigma^2> 0\}\,.$}$$$$$$

Dabei benötigen wir die folgende

Definition 5.21

 

• Sei $F:\mathbb{R}\to[0,1]$ eine beliebige Verteilungsfunktion.
• Die Funktion $F^{-1}:[0,1]\to\mathbb{R}$ mit

  $$F^{-1}(y)=\inf\{x:\, F(x)\ge y\}$$ (42)

  
  
  heißt Quantilfunktion von $F$.
• Sei $\gamma\in(0,1)$. Die Zahl $F^{-1}(\gamma)$ wird dann $\gamma$-Quantil von $F$ genannt.

Beachte

 

• Wenn $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ eine beliebige monoton wachsende rechtsstetige Funktion ist (die nicht unbedingt eine Verteilungsfunktion sein muß), dann heißt die in (42) definierte Funktion $F^{-1}$ verallgemeinerte inverse Funktion von $F$.
• Quantilfunktionen sind also spezielle verallgemeinerte inverse Funktionen.

Bei der Bestimmung von Konfidenzintervallen für normalverteilte Stichprobenvariablen wird insbesondere die Quantilfunktion der Standardnormalverteilung benötigt.

Beachte

 

• Das $\gamma$-Quantil der Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalverteilung wird mit $z_\gamma$ bezeichnet.
• Mit anderen Worten: Für jedes $\gamma\in(0,1)$ ist $z_\gamma$ die Lösung der Quantilgleichung $\Phi(z_\gamma)=\gamma$.
• Für $\gamma\ge 0,50$ kann man das $\gamma$-Quantil $z_\gamma$ aus Tabelle 1 entnehmen.
• Aus der Symmetrieeigenschaft $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ für jedes $x\in\mathbb{R}$ ergibt sich außerdem, daß

  $$z_\gamma=-z_{1-\gamma}$$ (43)

  
  
  für jedes $\gamma\in(0,1)$.

Beispiel

$\;$ Konfidenzintervall für den Erwartungswert $\mu$ (bei bekannter Varianz $\sigma^2$)

• Wir nehmen an, daß $X_i\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$ für ein (unbekanntes) $\mu\in\mathbb{R}$ und ein (bekanntes) $\sigma^2>0$.
• Man kann leicht zeigen, daß $\sqrt{n}(\overline X_n-\mu)/\sigma\sim$ N$(0,1)$, vgl. das Beispiel in Abschnitt 3.6.2 bzw. den Kommentar nach Theorem 3.22.
• Hieraus ergibt sich (vgl. auch Beispiel 2 in Abschnitt 4.3.1), daß für $\alpha\in(0,1)$
  $$P\Bigl(z_{\alpha/2}\le\sqrt{n}\frac{\overline X_n-\mu}{\sigma}\le z_{1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha\,.$$

• Unter Berücksichtigung von (43) ergibt sich somit, daß
  $$P\Bigl(-z_{1-\alpha/2}\le\sqrt{n}\frac{\overline X_n-\mu}{\sigma}\le z_{1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha$$
  bzw.
  $$P\Bigl(\overline X_n-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le\mu \le\overline X_n+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Bigr)=1-\alpha\,.$$

• Also ist mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ (44)

  
  
  ein Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.
• Für die Länge $\ell(X_1,\ldots,X_n)$ dieses Konfidenzintervalls gilt
  

  $$\ell(X_1,\ldots,X_n) = \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)-\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$$

  $$= z_{1-\alpha/2}\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\;.$$

  
  

• Hieraus ergibt sich insbesondere, daß $\ell(X_1,\ldots,X_n)$ nicht vom Zufall abhängt.
• Außerdem erkennen wir, daß die Länge $\ell(X_1,\ldots,X_n)$ des in (44) gegebenen Konfidenzintervalls klein ist, falls das Niveau $\gamma=1-\alpha$ klein, die Varianz $\sigma^2$ klein bzw. der Stichprobenumfang $n$ groß ist.
• Man kann sich leicht überlegen, daß $\ell(X_1,\ldots,X_n)\le\varepsilon$ gilt, falls

  $$n\ge\Bigl(\frac{2\sigma z_{1-\alpha/2}}{\varepsilon}\Bigr)^2\;,$$ (45)

  
  
  wobei $\varepsilon>0$ ein vorgegebener Schwellenwert ist.

Beachte

 

• Für eine (konkrete) Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$, die wir als Realisierung der Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$ auffassen, ergibt sich nun das ,,konkrete'' Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(x_1,\ldots,x_n),\overline\theta(x_1,\ldots,x_n)\bigr)$ durch Einsetzen in (44).
• Falls beispielsweise für $\gamma=0.95$ und $\sigma=0,10$ ein solches Konfidenzintervall für die folgenden Daten $41.60,\, 41.48,\, 42.34,\, 41.95,\, 41.86,\, 42.18,\, 41.72,\, 42.26,\, 41.81,\, 42.04$ ermittelt werden soll,
• dann entnehmen wir zunächst das Quantil $z_{0,975}=1,96$ aus Tabelle 1
• und erhalten somit für $n=10$
  

  $$\underline\theta(x_1,\ldots,x_n) =\overline x_n-z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}= \displaystyle 41.924-1.96\,\frac{0.1}{\sqrt{10}} =41.862$$

  $$\overline\theta(x_1,\ldots,x_n)=\overline x_n+z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}= \ldots =41.986$$

  
  

• Somit ergibt sich das (konkrete) Konfidenzintervall $(41.862,41.986)$ für den Erwartungswert $\mu$.