Kritischer Bereich; Fehlerwahrscheinlichkeiten

Sei $\Delta$ die Familie der insgesamt in Betracht gezogenen (d.h. potentiell möglichen) Verteilungsfunktionen $F$ der Stichprobenvariablen $X_i$; $i\in\{1,\ldots,n\}$.

• Zerlegen $\Delta$ in zwei (nichtleere) Teilmengen $\Delta_0$ und $\Delta_1$, d.h.
  $$\Delta=\Delta_0\cup\Delta_1\,,$$   wobei$$\qquad \Delta_0\cap\Delta_1=\emptyset\,.$$

• Betrachten die Hypothesen
  $$H_0: F\in\Delta_0$$   bzw.$$\qquad H_1: F\in\Delta_1\,,$$
  daß die unbekannte Verteilungsfunktion $F$ der Stichprobenvariablen $X_i$ zu der Teilmenge $\Delta_0\subset\Delta$ bzw. $\Delta_1\subset\Delta$ innerhalb der Familie $\Delta$ der insgesamt in Betracht gezogenen Verteilungsfunktionen gehört.

Dabei ist die folgende Sprechweise üblich:

• Die Hypothese $H_0: F\in\Delta_0$ heißt Nullhypothese, während $H_1: F\in\Delta_1$ Alternativhypothese genannt wird.
• Die Nullhypothese $H_0$ bzw. die Alternativhypothese $H_1$ heißen einfach, falls die Teilmenge $\Delta_0$ bzw. $\Delta_1$ nur aus einem Element besteht. Ansonsten sagt man, daß $H_0$ bzw. $H_1$ zusammengesetzte Hypothesen sind.

Um zwischen der Nullhypothese $H_0$ und der Alternativhypothese $H_1$ abwägen zu können, wird ein Test, d.h. eine Entscheidungsregel nach dem folgenden Prinzip konstruiert:

• Der Stichprobenraum $\mathbb{R}^n$ wird in zwei Borel-Mengen $K$ und $K^c=\mathbb{R}^n\setminus K$ zerlegt.
• Dabei heißt $K\subset\mathbb{R}^n$ der kritische Bereich (d.h. der Ablehnungsbereich der Nullhypothese $H_0$).
• Die Nullhypothese $H_0$ wird verworfen (d.h. abgelehnt), falls $(x_1,\ldots,x_n)\in K$.
• Ansonsten, d.h. falls $(x_1,\ldots,x_n)\not\in K$, wird $H_0$ nicht verworfen.

Mit anderen Worten:

• Betrachten die Stichprobenfunktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ mit

  $$\varphi(x_1,\ldots,x_n)=\left\{\begin{array}{ll} 1\,, &\mbox{fall... ...)\in K$,}\\ 0\,, &\mbox{falls $(x_1,\ldots,x_n)\not\in K$.} \end{array}\right.$$ (70)

  
  

• Die Nullhypothese $H_0$ wird also verworfen, falls $\varphi(x_1,\ldots,x_n)=1$.
• Ansonsten, d.h. falls $\varphi(x_1,\ldots,x_n)=0$, wird $H_0$ nicht verworfen.

Dies führt zu der folgenden

Definition 5.27

$\;$ Sei $\alpha\in(0,1)$ eine beliebige (vorgegebene) Zahl. Man sagt, daß die in (70) eingeführte Stichprobenfunktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ ein Test zum Niveau $\alpha$ ist, falls

$$P_F(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\le\alpha$$ (71)

für jedes $F\in\Delta_0$. Falls außerdem noch

$$P_F(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\ge\alpha$$ (72)

für jedes $F\in\Delta_1$, dann heißt $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ ein unverfälschter Test zum Niveau $\alpha$.

Beachte

 

• Für jedes $F\in\Delta_0$ heißt
  $$\alpha_n(F)=P(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\qquad \Bigl(=P_F((X_1,\ldots,X_n)\in K)\Bigr)$$
  die Wahrscheinlichkeit für Fehler erster Art, und
• für jedes $F\in\Delta_1$ heißt
  $$\beta_n(F)=P_F(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=0)\qquad \Bigl(=P_F((X_1,\ldots,X_n)\not\in K)\Bigr)$$
  die Wahrscheinlichkeit für Fehler zweiter Art.
• Von besonderem Interesse sind Tests, deren Wahrscheinlichkeiten für Fehler erster Art eine vorgegebene ,,Irrtumswahrscheinlichkeit'' $\alpha$ nicht überschreiten und für die gleichzeitig die Wahrscheinlichkeiten für Fehler zweiter Art möglichst klein sind.

Falls die Familie $\Delta$ der insgesamt in Betracht gezogenen Verteilungsfunktionen $F$ der Stichprobenvariablen $X_i$ eine parametrische Familie $\Delta=\{F_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Verteilungsfunktionen ist, dann zerlegen wir $\Delta$ auf die folgende Weise in zwei Teilmengen $\Delta_0$ und $\Delta_1$:

• Betrachten eine Zerlegung
  $$\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1\,,\qquad \Theta_0\cap\Theta_1=\emptyset$$
  des Parameterraumes $\Theta$ in zwei disjunkte Teilmengen $\Theta_0,\Theta_1$, so daß
  $$\Delta_0=\{F_\theta,\,\theta\in\Theta_0\}$$   bzw.$$\qquad \Delta_1=\{F_\theta,\,\theta\in\Theta_1\}\,,$$

• wobei die Hypothesen $H_0$ und $H_1$ dann wie folgt formuliert werden:
  $$H_0: \theta\in\Theta_0$$   bzw.$$\qquad H_1: \theta\in\Theta_1\,.$$

Beispiel

$\;$ Sei $\Delta=\{$N $(\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R}\}$ die Familie der (eindimensionalen) Normalverteilungen mit einer vorgegebenen (bekannten) Varianz $\sigma^2$. Dann ist

• $H_0: \mu=0$ eine einfache Hypothese,
• während $H_1: \mu\not=0$ eine zusammengesetzte Hypothese ist.

Für parametrische Verteilungsfamilien können die Begriffe, die in Definition 5.27 eingeführt wurden, wie folgt spezifiziert bzw. durch weitere Begriffe ergänzt werden.

Definition 5.28

 

• Im Fall einer parametrischen Familie $\Delta=\{F_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Verteilungsfunktionen heißt die in (70) eingeführte Stichprobenfunktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ ein Parametertest zum Niveau $\alpha$, falls

  $$P_\theta(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\le\alpha$$ (73)

  
  
  für jedes $\theta\in\Theta_0$ gilt.
• Falls außerdem noch

  $$P_\theta(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\ge\alpha$$ (74)

  
  
  für jedes $\theta\in\Theta_1$, dann heißt $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ ein unverfälschter Test zum Niveau $\alpha$.
• Die Abbildung $\alpha_n:\Theta\to[0,1]$ mit $\alpha_n(\theta)=P_\theta((\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)$ heißt Gütefunktion des Tests $\varphi$.
• Die Einschränkung $\alpha_n:\Theta_1\to[0,1]$ dieser Abbildung auf die Teilmenge $\Theta_1$ des Parameterraumes heißt die Macht (power) von $\varphi$.
• Der Test $\varphi$ zum Niveau $\alpha$ heißt konsistent, falls $\lim\limits _{n\to\infty} \alpha_n(\theta)=1$ für jedes $\theta\in\Theta_1$ gilt.
• Seien $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ und $\varphi^\prime:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ zwei Parametertests zum Niveau $\alpha$. Falls die Macht von $\varphi^\prime$ größer ist als die Macht von $\varphi$, d.h.

  $$P_\theta((\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\le P_\theta((\varphi^\prime(X_1,\ldots,X_n)=1)$$ (75)

  
  
  für jedes $\theta\in\Theta_1$, dann sagt man, daß der Test $\varphi^\prime$ besser als der Test $\varphi$ ist.

Beachte

 

1. Bei der praktischen Konstruktion des kritischen Bereichs $K$ eines Parametertest zum Niveau $\alpha$ kann oft wie folgt vorgegangen werden:
   • Bestimme eine Stichprobenfunktion $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ (genannt Testgröße), so daß
   • die Zufallsvariable $T(X_1,\ldots,X_n)$ für jedes $\theta\in\Theta_0$ die gleiche (bekannte) Verteilung hat, und
   • bestimme einen Schwellenwert $c>0$, so daß $P_\theta\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>c\bigr)\le\alpha$ für jedes $\theta\in\Theta_0$ gilt.
   • Dann ist mit $K=\{(x_1,\ldots,x_n):\,\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>c\}$ der kritische Bereich eines Parametertests zum Niveau $\alpha$ gegeben.
2. Um einen Test zum Niveau $\alpha$ mit einer möglichst großen Macht zu erhalten, ist es jedoch manchmal zweckmäßiger,
   • zwei Schwellenwerte $c_1,c_2\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ mit $c_1<c_2$ zu betrachten, so daß für jedes $\theta\in\Theta_0$
     $$P_\theta\bigl(c_1\le T(X_1,\ldots,X_n)\le c_2\bigr)\ge 1-\alpha\,.$$

   • Dann ist mit $K=\mathbb{R}^n\setminus\{(x_1,\ldots,x_n):\,c_1\le T(x_1,\ldots,x_n)\le c_2\}$ der kritische Bereich eines (asymmetrischen) Parametertests zum Niveau $\alpha$ gegeben.

In den folgenden Abschnitten wird dieses Konstruktionsprinzip anhand einer Reihe von Beispielen näher diskutiert.