Parametertests bei Normalverteilung

Wir nehmen in diesem Abschnitt an, daß die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ normalverteilt sind, d.h., es gelte $\Delta\subset\{{\rm N}(\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$. Wir betrachten also die Familie der (eindimensionalen) Normalverteilungen bzw. Teilmengen hiervon.

Wir konstruieren zunächst Tests für den Erwartungswert $\mu$. Dabei gibt es Ähnlichkeiten zur Konstruktion der Konfidenzintervalle für $\mu$, die in Abschnitt 5.3.4 diskutiert werden.

Beispiel

$\;$ Test des Erwartungswertes $\mu$ (bei bekannter Varianz $\sigma^2$)

• Wir nehmen an, daß $X_i\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$ für ein (unbekanntes) $\mu\in\mathbb{R}$ und ein (bekanntes) $\sigma^2>0$.
• Für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $\mu_0\in\mathbb{R}$ soll die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ (gegen die Alternative $H_1:\mu\not=\mu_0$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{\mu:\,\mu\in\mathbb{R}\}$ mit
  $$\Theta_0=\{\mu_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{\mu:\,\mu\in\mathbb{R},\mu\not=\mu_0\}$$

• Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{n}\;\frac{\overline x_n-\mu_0}{\sigma}$$ (76)

  
  

• und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$, d.h. das $(1-\alpha/2)$-Quantil der Standardnormalverteilung.
• Dann gilt $P_{\mu_0}\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$.
• Die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ wird abgelehnt, falls $\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.

Für $\alpha=0.05$ und $\sigma=0.10$ wollen wir nun prüfen, ob

• die Hypothese $H_0:\mu=42.0$ mit der bereits in Abschnitt 5.3.2 betrachteten (konkreten) Stichprobe
  $$(x_1,\ldots,x_{10})= (41.60,\, 41.48,\, 42.34,\, 41.95,\, 41.86,\, 42.18,\, 41.72,\, 42.26,\, 41.81,\, 42.04)$$
  vereinbar ist.
• In diesem Fall gilt $\overline x_{10}=41.924$, und aus (76) ergibt sich somit
  

  $$\bigl\vert T(x_1,\ldots,x_{10})\bigr\vert = \Bigl\vert\sqrt{10}\;\frac{\overline x_{10}-\mu_0}{\sigma}\Bigr\vert$$

  $$= \Bigl\vert\sqrt{10}\;\frac{41.924 - 42.0}{0.10}\Bigr\vert$$

  $$= 2.40 > z_{0.975}=1.96\,,$$

  
  
  wobei das Quantil $z_{0.975}=1.96$ aus Tabelle 1 entnommen wurde.
• Die Hypothese $H_0:\mu=42.0$ wird also verworfen.

Beachte

 

1. Man kann sich leicht überlegen, daß
   • für die Gütefunktion $\alpha_n:\mathbb{R}\to[0,1]$ dieses Tests
     

     $$\alpha_n(\mu) = P_\mu\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)$$

     $$= 1-\Phi\Bigl(z_{1-\alpha/2}+\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\;\sqrt{n}\Bigr)+ \Phi\Bigl(-z_{1-\alpha/2}+\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\;\sqrt{n}\Bigr)$$

     
     
     für beliebige $n\in\mathbb{N}$ und $\mu\in\mathbb{R}$ gilt.
   • Hieraus ergibt sich insbesondere, daß $\alpha_n(\mu)\ge\alpha$ für beliebige $n\in\mathbb{N}$ und $\mu\in\mathbb{R}$, und
     $$\lim\limits _{n\to\infty} \alpha_n(\mu)=1$$
     für jedes $\mu\not=\mu_0$.
   • Der Test ist also unverfälscht und konsistent.
2. Falls die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ gegen die (einseitige) Alternative $H_1:\mu>\mu_0$ getestet werden soll, d.h. $\Theta=\{\mu:\,\mu\in\mathbb{R},\mu\ge\mu_0\}$ mit
   $$\Theta_0=\{\mu_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{\mu:\,\mu\in\mathbb{R},\mu>\mu_0\}\,,$$
   dann könnte man zwar so wie bisher vorgehen und für die in (76) definierte Testgröße $T$
   • den kritischen Bereich $K=\{(x_1,\ldots,x_n):\,\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\}$ betrachten.
   • Ein besserer Test ergibt sich jedoch, wenn der folgende (einseitige) kritische Bereich
     $$K^\prime=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)>z_{1-\alpha}\}$$
     betrachtet wird, denn für jedes $\mu>\mu_0$ gilt
     $$1-\Phi\Bigl(z_{1-\alpha/2}+\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\;\sqrt{n}\Big... ...}\Bigr) < 1-\Phi\Bigl(z_{1-\alpha}+\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\;\sqrt{n}\Bigr)\,.$$

3. Falls die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ gegen die Alternative $H_1:\mu<\mu_0$ getestet werden soll, dann wird der kritische Bereich $K^{\prime\prime}=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)<-z_{1-\alpha}\}$ betrachtet.

Wir diskutieren nun einen Test des Erwartungswertes $\mu$, wobei angenommen wird, daß die Varianz $\sigma^2$ ebenfalls unbekannt ist.

Beispiel

$\;$ Test des Erwartungswertes $\mu$ (bei unbekannter Varianz $\sigma^2$)

• Im Unterschied zu dem vorhergehenden Beispiel nehmen wir nun an, daß $X_i\sim$N $(\mu,\sigma^2)$ für ein (unbekanntes) $\mu\in\mathbb{R}$ und ein (unbekanntes) $\sigma^2>0$.
• Für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $\mu_0\in\mathbb{R}$ soll erneut die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ (gegen die zweiseitige Alternative $H_1:\mu\not=\mu_0$) getestet werden.
• Dies bedeutet, daß jetzt $\Theta=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu=\mu_0,\sigma^2>0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\not=\mu_0,\sigma^2>0\}\,,$$
  d.h., sowohl $H_0$ als auch $H_1$ sind jetzt zusammengesetzte Hypothesen.
• Damit hängt auch zusammen, daß die in (76) betrachtete Testgröße $T$ nun nicht mehr geeignet ist, weil in (76) die unbekannte Größe $\sigma$ vorkommt.
• Wir betrachten vielmehr die Testgröße $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{n}\;\frac{\overline x_n-\mu_0}{s_n}$$ (77)

  
  

• und den Schwellenwert $c=t_{n-1,1-\alpha/2}$, d.h. das $(1-\alpha/2)$-Quantil der t-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden.
• Aus Korollar 5.25 ergibt sich dann, daß $P_{(\mu_0,\sigma^2)}\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>t_{n-1,1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$ für jedes $\sigma^2>0$ gilt.
• Die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ wird abgelehnt, falls $\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>t_{n-1,1-\alpha/2}$.

Für $\alpha=0.05$ wollen wir nun prüfen, ob

• die Hypothese $H_0:\mu=42.0$ mit der schon in dem vorhergehenden Beispiel betrachteten (konkreten) Stichprobe
  $$(x_1,\ldots,x_{10})= (41.60,\, 41.48,\, 42.34,\, 41.95,\, 41.86,\, 42.18,\, 41.72,\, 42.26,\, 41.81,\, 42.04)$$
  vereinbar ist, wobei jetzt jedoch angenommen wird, daß die Varianz $\sigma^2$ unbekannt ist.
• Es gilt $\overline x_{10}=41.924$ und $s^2_{10}=0.0807$ bzw. $s_{10}=0.284$.
• Aus (77) ergibt sich somit, daß
  

  $$\bigl\vert T(x_1,\ldots,x_{10})\bigr\vert = \Bigl\vert\sqrt{10}\;\frac{\overline x_{10}-\mu_0}{s_{10}}\Bigr\vert$$

  $$= \Bigl\vert\sqrt{10}\;\frac{41.924 - 42.0}{0.284}\Bigr\vert$$

  $$= 0.846 < t_{9,0.975}=2.262\,,$$

  
  
  wobei das Quantil $t_{9,0.975}=2.262$ aus Tabelle 3 entnommen wurde.
• Unter den jetzt gemachten Modellannahmen wird also die Hypothese $H_0:\mu=42.0$ nicht verworfen.
• Der Hauptgrund hierfür ist, daß die Stichprobenvarianz $s^2_{10}=0.0807$ deutlich größer ist als der bei dem vorhergehenden Beispiel betrachtete Wert $\sigma^2=0.01$ der (z.B. aufgrund von Vorinformationen) als bekannt angenommenen Varianz $\sigma^2$.
• Mit anderen Worten: Wegen der relativ großen Stichprobenvarianz $s^2_{10}$ wird jetzt die Abweichung $0.076=\vert 41.924 - 42.0\vert$ des Stichprobenmittels $\overline x_{10}=41.924$ von dem hypothetischen Erwartungswert $\mu_0=42.0$ toleriert, während sie bei dem vorhergehenden Beispiel (vor allem) wegen der kleineren Varianz $\sigma^2=0.01$ nicht toleriert wurde.

Beachte

 

1. Falls die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ gegen die Alternative $H_1:\mu>\mu_0$ getestet werden soll, dann wird (ähnlich wie in dem vorhergehenden Beispiel) für die in (77) definierte Testgröße $T$ der kritische Bereich $K^\prime$ betrachtet mit
   $$K^\prime=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)>t_{n-1,1-\alpha}\}\,.$$

2. Analog wird für den Test der Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ gegen die Alternative $H_1:\mu<\mu_0$ der kritische Bereich $K^{\prime\prime}$ betrachtet mit
   $$K^{\prime\prime}=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)<-t_{n-1,1-\alpha}\}\,.$$

Wenn die Varianz $\sigma^2$ der normalverteilten Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ getestet werden soll, dann kann man ähnlich wie in den beiden vorhergehenden Beispielen argumentieren. Dabei gibt es Ähnlichkeiten zur Konstruktion der Konfidenzintervalle für $\sigma^2$, die in Abschnitt 5.3.4 diskutiert werden.

Beispiel

$\;$ Test der Varianz $\sigma^2$ (bei bekanntem Erwartungswert $\mu$)

• Wir nehmen an, daß $X_i\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$ für ein (bekanntes) $\mu\in\mathbb{R}$ und ein (unbekanntes) $\sigma^2>0$.
• Für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $\sigma^2_0>0$ soll die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ (gegen die Alternative $H_1:\sigma^2\not=\sigma^2_0$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{\sigma^2:\sigma^2>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{\sigma^2_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{\sigma^2:\,\sigma^2\not=\sigma^2_0\}\,.$$

• Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^n\to(0,\infty)$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\frac{n \tilde s_n^2}{\sigma^2_0}$$ (78)

  
  
  und die Schwellenwerte $c_1=\chi^2_{n,\alpha/2}$ bzw. $c_2=\chi^2_{n,1-\alpha/2}$. Dabei ist $\tilde s_n^2$ die in Abschnitt 5.3.4 eingeführte Größe
  $$\tilde s_n^2=\frac{1}{n}\sum\limits _ {i=1}^n(x_i-\mu)^2\,.$$

• Dann gilt $P_{\sigma^2_0}\bigl(\chi^2_{n,\alpha/2}\le T(X_1,\ldots,X_n) \le \chi^2_{n,1-\alpha/2}\bigr)=1-\alpha$.
• Die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ wird abgelehnt, falls $T(x_1,\ldots,x_n)<\chi^2_{n,\alpha/2}$ oder $T(x_1,\ldots,x_n)>\chi^2_{n,1-\alpha/2}$.

Beachte

 

1. Die Gütefunktion $\alpha_n:\Theta\to[0,1]$ dieses Tests mit
   

   $$\alpha_n(\sigma^2) = 1-P_{\sigma^2}\bigl(\chi^2_{n,\alpha/2}\le T(X_1,\ldots,X_n) \le \chi^2_{n,1-\alpha/2}\bigr)$$

   $$= 1-P_{\sigma^2}\Bigl(\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\chi^2_{n,\alpha/2... ...lde S_n^2}{\sigma^2} \le \frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\chi^2_{n,1-\alpha/2}\Bigr)$$

   
   
   hat kein Minimum im Punkt $\sigma^2=\sigma^2_0$. Der Test ist also nicht unverfälscht.
2. Wenn jedoch beispielsweise die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ gegen die (einseitige) Alternative $H_1:\sigma^2>\sigma^2_0$ getestet werden soll, d.h. $\Theta=\{\sigma^2:\,\sigma^2\ge\sigma^2_0\}$ mit
   $$\Theta_0=\{\sigma^2_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{\sigma^2:\,\sigma^2>\sigma^2_0\}\,,$$
   dann wird der kritische Bereich

   $$K^\prime=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)>\chi^2_{n,1-\alpha}\}$$ (79)

   
   
   betrachtet, und die Gütefunktion $\alpha_n:\Theta\to[0,1]$ mit
   

   $$\alpha_n(\sigma^2) = P_{\sigma^2}\bigl( T(X_1,\ldots,X_n)>\chi^2_{n,1-\alpha}\bigr)$$

   $$= P_{\sigma^2}\Bigl(\frac{n\tilde S_n^2}{\sigma^2}>\frac{\sigma^2_0}{\sigma^2} \chi^2_{n,1-\alpha}\Bigr)$$

   
   
   ist monoton wachsend für $\sigma\ge\sigma_0^2$. Der einseitige Test ist somit unverfälscht.
3. Wegen dieser Monotonieeigenschaft ist durch den in (79) betrachteten kritischen Bereich $K^\prime$ auch ein (unverfälschter) Test zum Niveau $\alpha$ der Hypothese $H_0: \sigma^2\le\sigma^2_0$ gegen die Alternativhypothese $H_1:\sigma^2>\sigma^2_0$ gegeben.
4. Analog liefert der kritische Bereich
   $$K^{\prime\prime}=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)<\chi^2_{n,\alpha}\}$$
   einen (unverfälschten) Test zum Niveau $\alpha$ der Hypothesen $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ bzw. $H_0: \sigma^2\ge\sigma^2_0$ gegen die Alternativhypothese $H_1:\sigma^2<\sigma^2_0$.

Beispiel

$\;$ Test der Varianz $\sigma^2$ (bei unbekanntem Erwartungswert $\mu$)

• Wir nehmen nun an, daß $X_i\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$ für ein (unbekanntes) $\mu\in\mathbb{R}$ und ein (unbekanntes) $\sigma^2>0$.
• Für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $\sigma^2_0\in\mathbb{R}$ soll die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ (gegen die Alternative $H_1:\sigma^2\not=\sigma^2_0$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2=\sigma^2_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2\not=\sigma^2_0\}\,.$$

• Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^n\to(0,\infty)$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2_0}$$ (80)

  
  
  und die Schwellenwerte $c_1=\chi^2_{n-1,\alpha/2}$ bzw. $c_2=\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}$.
• Aus Theorem 5.23 ergibt sich, daß
  $$P_{(\mu,\sigma^2_0)}\bigl(\chi^2_{n-1,\alpha/2}\le T(X_1,\ldots,X_n) \le \chi^2_{n-1,1-\alpha/2}\bigr)=1-\alpha$$
  für jedes $\mu\in\mathbb{R}$.
• Die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ wird abgelehnt, falls
  $$T(x_1,\ldots,x_n)<\chi^2_{n-1,\alpha/2}$$   oder$$\qquad T(x_1,\ldots,x_n)>\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}\,.$$

Beachte

 

1. Die Gütefunktion $\alpha_n:\Theta\to[0,1]$ dieses Tests mit
   $$\alpha_n(\mu,\sigma^2)=1-P_{(\mu,\sigma^2)}\bigl(\chi^2_{n-1,\alpha/2}\le T(X_1,\ldots,X_n) \le \chi^2_{n-1,1-\alpha/2}\bigr)$$
   hängt nicht von $\mu$ ab und hat (bei fixiertem $\mu$) kein Minimum im Punkt $\sigma^2=\sigma^2_0$. Der Test ist also nicht unverfälscht.
2. Wenn jedoch beispielsweise die Hypothese $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ gegen die (einseitige) Alternative $H_1:\sigma^2>\sigma^2_0$ getestet werden soll, d.h. $\Theta=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2\ge\sigma^2_0\}$ mit
   $$\Theta_0=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2=\sigma^2_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>\sigma^2_0\}\,,$$
   dann wird der kritische Bereich

   $$K^\prime=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)>\chi^2_{n-1,1-\alpha}\}$$ (81)

   
   
   betrachtet, und die Gütefunktion $\alpha_n:\Theta\to[0,1]$ mit
   

   $$\alpha_n(\mu,\sigma^2) = P_{(\mu,\sigma^2)}\bigl( T(X_1,\ldots,X_n)>\chi^2_{n-1,1-\alpha}\bigr)$$

   $$= P_{(\mu,\sigma^2)}\Bigl(\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}>\frac{\sigma^2_0}{\sigma^2} \chi^2_{n-1,1-\alpha}\Bigr)$$

   
   
   hängt nicht von $\mu$ ab und ist monoton wachsend für $\sigma\ge\sigma_0^2$. Der einseitige Test ist somit unverfälscht.
3. Wegen dieser Monotonieeigenschaft ist durch den in (81) betrachteten kritischen Bereich $K^{\prime\prime}$ auch ein (unverfälschter) Test zum Niveau $\alpha$ der Hypothese $H_0: \sigma^2\le\sigma^2_0$ gegen die Alternativhypothese $H_1:\sigma^2>\sigma^2_0$ gegeben.
4. Analog liefert der kritische Bereich
   $$K^{\prime\prime}=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)<\chi^2_{n-1,\alpha}\}$$
   einen (unverfälschten) Test zum Niveau $\alpha$ der Hypothesen $H_0: \sigma^2=\sigma^2_0$ bzw. $H_0: \sigma^2\ge\sigma^2_0$ gegen die Alternativhypothese $H_1:\sigma^2<\sigma^2_0$.