Quotienten von gleichverteilten Zufallsvariablen

In vielen Fällen lassen sich Zufallsvariablen mit absolutstetigen Verteilungen als Quotienten von gleichverteilten Zufallsvariablen darstellen.

• In Kombination mit der in Abschnitt 3.2.3 diskutierten Akzeptanz- und Verwerfungsmethode führt dies zu einem weiteren Typ von Simulationsalgorithmen.
• Um dies zu präzisieren, benötigen wir den folgenden Transformationssatz für die Dichte von absolutstetigen Zufallsvektoren, der bereits in Abschnitt 1.3.2 der Vorlesung ,,Statistik I'' erwähnt wurde.

Theorem 3.8    

• Sei ${\mathbf{X}}=(X_1,\ldots,X_n)^\top:\Omega\to\mathbb{R}^n$ ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der (gemeinsamen) Dichte $f_{\mathbf{X}}:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$, und sei ${\boldsymbol{\varphi}}=(\varphi_1,\ldots,\varphi_n):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ eine Borel-messbare Abbildung mit stetigen partiellen Ableitungen $\partial\varphi_i/\partial x_j(x_1,\ldots,x_n)$.
• Außerdem sei die Borel-Menge $C\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ so gewählt, dass
  $$\{{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^n:f_{\mathbf{X}}({\mathbf{x}})\not= 0\}\subset C$$
  und
  $$\det\Bigl(\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}(x_1,\ldots,x_n)\Bigr)\not= 0\,, \qquad\forall {\mathbf{x}}=(x_1,\ldots,x_n)\in C\,,$$
  so daß die Einschränkung ${\boldsymbol{\varphi}}:C\to D$ von ${\boldsymbol{\varphi}}$ auf die Menge $C$ eine eineindeutige Abbildung ist, wobei $D=\{{\boldsymbol{\varphi}}({\mathbf{x}}): {\mathbf{x}}\in C\}$.
• Sei ${\boldsymbol{\varphi}}^{-1}=(\varphi_1^{-1},\ldots,\varphi_n^{-1}):D\to C$ die Umkehrung der Abbildung ${\boldsymbol{\varphi}}:C\to D$.
• Dann ist auch der Zufallsvektor ${\mathbf{Y}}={\boldsymbol{\varphi}}({\mathbf{X}})$ absolutstetig, und für die Dichte $f_{\mathbf{Y}}({\mathbf{y}})$ von ${\mathbf{Y}}$ gilt

  $$f_{\mathbf{Y}}({\mathbf{y}})=\left\{\begin{array}{ll} f_{\mathbf{... ...D$,}\\ [3\jot] 0\,, & \mbox{falls ${\mathbf{y}}\not\in D$.} \end{array}\right.$$ (25)

  
  
  bzw.

  $$f_{\mathbf{Y}}({\mathbf{y}})=\left\{\begin{array}{ll} f_{\mathbf{... ...D$,}\\ [3\jot] 0\,, & \mbox{falls ${\mathbf{y}}\not\in D$.} \end{array}\right.$$ (26)

  
  

Aus Theorem 3.8 ergibt sich nun das folgende Resultat über die Darstellung von Zufallsvariablen mit absolutstetigen Verteilungen als Quotienten von gleichverteilten Zufallsvariablen.

Theorem 3.9    

• Sei $f^\prime:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ eine (Borel-messbare) beschränkte Funktion mit

  $$0<\int_\mathbb{R}f^\prime(x)\,dx<\infty \qquad\sup_{x\in\mathbb{R}} \vert x\vert\,\sqrt{f^\prime(x)}<\infty\,.$$ (27)

  
  

• Der Zufallsvektor $(V_1,V_2)$ sei gleichverteilt in der (beschränkten) Borel-Menge

  $$B=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:0<x_1<\sqrt{f^\prime(x_2/x_1)}\}\,.$$ (28)

  
  

• Dann ist der Quotient $V_2/V_1$ eine absolutstetige Zufallsvariable mit der Dichte $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$, wobei
  $$f(x)\;=\;\frac{f^\prime(x)}{\int_\mathbb{R}f^\prime(y)\,dy}\;,\qquad\forall\, x\in\mathbb{R}\,.$$

Beweis

 

• Aus (27) folgt, dass die in (28) definierte Borel-Menge $B$ beschränkt ist mit $0<\vert B\vert<\infty$.
• Denn
  • für $x_2>0$ ist die Ungleichung $x_1<\sqrt{f^\prime(x_2/x_1)}$ äquivalent mit $x_2<x_2/x_1\sqrt{f^\prime(x_2/x_1)}$,
  • und für $x_2<0$ mit $x_2>x_2/x_1\sqrt{f^\prime(x_2/x_1)}$.
• Somit gilt

  $$B \subset [0,\sup_{x\in\mathbb{R}} \sqrt{f^\prime(x)}]\times[\inf_{x<0} x\,\sqrt{f^\prime(x)},\, \sup_{x>0} x\,\sqrt{f^\prime(x)}]$$ (29)

  
  
  bzw.
  $$B \subset [0,\sup_{x\in\mathbb{R}} \sqrt{f^\prime(x)}]\times[-\su... ...qrt{f^\prime(x)},\, \sup_{x\in\mathbb{R}} \vert x\vert\,\sqrt{f^\prime(x)}]\,.$$

• Die Dichte $f_{(V_1,V_2)}(v_1,v_2)$ des Zufallsvektors $(V_1,V_2)$ ist somit gegeben durch
  $$f_{(V_1,V_2)}(v_1,v_2)=\vert B\vert^{-1}{1\hspace{-1mm}{\rm I}}\bigl(0<v_1<\sqrt{f^\prime(v_2/v_1)}\bigr)\,.$$

• Die Funktion ${\boldsymbol{\varphi}}:C\to C$ mit $C=(0,\infty)\times\mathbb{R}$ und $\varphi(x_1,x_2)=(x_1,x_2/x_1)$
  • bildet die Menge $C$ auf eineindeutige Weise auf sich selbst ab,
  • und ihre Funktionaldeterminante ist gegeben durch
    $$\det\,\Bigl(\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}(x_1,x_2)\Bigr)... ...1}{x_1}\end{array}\Biggr)\;=\;\frac{1}{x_1}\;,\qquad\forall\,(x_1,x_2)\in C\,.$$

• Hieraus und aus Theorem 3.8 ergibt sich,
  • dass die Dichte $f_{(V_1,V_2/V_1)}(y_1,y_2)$ des Zufallsvektors $(V_1,V_2/V_1)$ gegeben ist durch
    $$f_{(V_1,V_2/V_1)}(y_1,y_2)=\vert B\vert^{-1}y_1{1\hspace{-1mm}{\rm I}}\bigl(0<y_1<\sqrt{f^\prime(y_2)}\bigr)$$

  • und dass somit die Randdichte $f_{V_2/V_1}(y_2)$ der zweiten Komponente $V_2/V_1$ von $(V_1,V_2/V_1)$ gegeben ist durch
    $$f_{V_2/V_1}(y_2)\;=\;\vert B\vert^{-1}\int\limits_0^{\sqrt{f^\prime(y_2)}}y_1\, dy_1 \;=\;\frac{f^\prime(y_2)}{2\,\vert B\vert}\;.$$
    
     
      $\Box$
    
    
    

Beispiel

$\;$ (Normalverteilung)

• Aus Theorem 3.9 ergibt sich nun noch ein drittes Verfahren zur Erzeugung von N$(0,1)$-verteilten Pseudozufallszahlen (neben dem in Abschnitt 3.2.1 diskutierten Box-Muller-Algorithmus bzw. der in Abschnitt 3.2.3 erwähnten Polar-Methode).
• Dabei betrachten wir die Funktion $f^\prime:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ mit $f^\prime(x)=\exp(-x^2/2)$ für jedes $x\in\mathbb{R}$, so dass für die Schranken in (29) gilt:
  $$\sup_{x\in\mathbb{R}} \sqrt{f^\prime(x)}=1\,,\qquad \inf_{x<0} x\... ...\prime(x)}=-\sqrt{2/e}\,,\qquad \sup_{x>0} x\,\sqrt{f^\prime(x)}=\sqrt{2/e}\,.$$

• Gemäß Theorem 3.9 können nun N$(0,1)$-verteilte Pseudozufallszahlen $x_1,x_2,\ldots$ wie folgt erzeugt werden.

  1.

  Generiere eine $(0,1]$-gleichverteilte Pseudozufallszahl $u$ und eine $(-\sqrt{2/e},\,\sqrt{2/e}]$-gleichverteilte Pseudozufallszahl $v$.

  2.

  Falls $u\ge\sqrt{\exp(-v^2/(2u^2))}$ gilt, d.h., falls $\log u\ge -v^2/(4u^2)$ bzw. äquivalent hierzu $v^2\ge -4u^2\log u$, dann kehre zu Schritt 1 zurück.

  3.

  Setze $x=v/u$.