Maßzahlen für die Streuung der Daten

Wir betrachten nun Kenngrößen der Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$, die die Streuung der Daten $x_1,\ldots,x_n$ beschreiben.

1. Stichprobenvarianz und Stichproben-Standardabweichung 
   • Zunächst betrachten wir die Stichprobenfunktion $\widetilde \varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit

     $$\widetilde\varphi(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \bigl(x_i-\overline x_n\bigr)^2\,,$$ (7)

     
     
     die die mittlere quadratische Abweichung der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ vom (arithmetischen) Stichprobenmittel $\overline x_n$ beschreibt.
   • Anstelle der in (7) gegebenen Stichprobenfunktion wird in der beschreibenden Statistik jedoch häufig die (modifizierte) mittlere quadratische Abweichung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit

     $$\varphi(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \bigl(x_i-\overline x_n\bigr)^2$$ (8)

     
     
     betrachtet, die Stichprobenvarianz bzw. empirische Varianz heißt (und mit $s_n^2$ bezeichnet wird).
   • Manchmal betrachtet man die Wurzel $s_n=\sqrt{s_n^2}$ von $s_n^2$, die Stichproben-Standardabweichung bzw. empirische Standardabweichung genannt wird.

     
     

   • Beachte 
     • Wegen der Schwerpunkteigenschaft (3) des Stichprobenmittels $\overline x_n$, d.h. $\sum_{i=1}^n (x_i-\overline x_n)=0$, ist die $n$-te Abweichung $x_n-\overline x_n$ bereits durch die Abweichungen $x_1-\overline x_n,\ldots,x_{n-1}-\overline x_n$ der ersten $n-1$ Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_{n-1}$ vom Stichprobenmittel $\overline x_n$ eindeutig bestimmt.
     • Somit sind nur $n-1$ Abweichungen frei wählbar, weshalb man in der Definitionsgleichung (8) von $s^2$ nicht durch $n$, sondern durch die Anzahl $n-1$ der sogenannten Freiheitsgrade dividiert.
   • Weitere Eigenschaften der Stichprobenvarianz

     i)

     Alternative Darstellungsformel für $s^2$ 

     • Aus der Definitionsgleichung (8) von $s_n^2$ folgt, dass
       

       $$s_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\overline x_n)^2$$

       $$= \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (x_i^2-2x_i\overline x_n+\overline x_n^2)$$

       $$= \frac{1}{n-1}\;\Bigl(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2-n\overline x_n^2\Bigr)\,.$$

       
       

     • Es gilt also die folgende (alternative) Darstellungsformel für die Stichprobenvarianz $s^2$:

       $$s_n^2=\frac{1}{n-1}\; \Bigl(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2-n\overline x_n^2\Bigr)\,.$$ (9)

       
       

     ii)

     Stichprobenvarianz von linear transformierten Stichproben 

     • Für beliebige, jedoch fest vorgegebene Zahlen $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ sei die Stichprobe $(y_1,\ldots,y_n)$ gegeben durch $y_i=\alpha+\beta x_i$ für jedes $i=1,\ldots,n$, d.h., die Stichprobenwerte $y_1,\ldots,y_n$ ergeben sich durch eine lineare Transformation der ursprünglichen Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$.
     • Mit der Schreibweise $\overline y_n=(y_1+\ldots+y_n)/n$ ergibt sich dann, dass
       

       $$s_n^2(y_1,\ldots,y_n) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \bigl(y_i-\overline y_n\bigr)^2$$

       $$= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \bigl(\alpha+\beta x_i-(\alpha-\beta\overline x_n)\bigr)^2$$

       $$= \beta^2\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \bigl(x_i-\overline x_n\bigr)^2= \beta^2 s_n^2(x_1,\ldots,x_n)\,,$$

       
       

     • Es gilt also

       $$s_n^2(y_1,\ldots,y_n)=\beta^2 s_n^2(x_1,\ldots,x_n)\,.$$ (10)

       
       

     
     

   • Beispiel 
     • Gegeben seien die Stückzahlen
       $$42, 46, 41, 39, 42, 40, 43, 40, 41, 44, 42, 42, 41, 40, 42, 42, 41, 43, 39, 40$$
       eines bestimmten Erzeugnisses, die an $n=20$ aufeinanderfolgenden Tagen von der Produktionsabteilung eines Unternehmens hergestellt worden sind.
     • Für diese Stichprobe gilt offenbar $x_{\min}=39$ bzw. $x_{\max}=46$, woraus sich die Stichprobenspannweite $x_{\max}-x_{\min}=46-39=7$ ergibt.
     • Außerdem gilt $\overline x_{20}=41.5$ und $\sum_{i=1}^{20} x_i^2=34 500$, so dass sich aus der Darstellungsformel (9) die folgenden Werte für die Stichprobenvarianz $s^2_{20}$ bzw. die Stichproben-Standardabweichung $s_{20}$ ergeben:
       $$s^2_{20}=\frac{1}{19}\;\bigl(34 500- 20\cdot (41.5)^2\bigr)=2.89\,,\qquad s_{20}=1.70\,.$$

   
   

2. Empirischer Variationskoeffizient 
   • Für die Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ mit dem Stichprobenmittelwert $\overline x_n$ und der Stichproben-Standardabweichung $s_n$ wird der empirische Variationskoeffizient durch den Quotienten $s_n/\overline x_n$ definiert.
   • Der Quotient $s_n/\overline x_n$ wird manchmal auch Variabilitätskoeffizient genannt.

   
   

3. Empirischer Quantilabstand 
   • In Verallgemeinerung der bereits erwähnten Stichprobenspannweite $x_{\min}-x_{\max}=x_{(n)}-x_{(1)}$ wird manchmal auch für beliebiges $p\in(0,1/2)$ der empirische Quantilabstand $z_{1-p}-z_p$ betrachtet, der ebenfalls eine Kenngröße zur Beschreibung der Streuung der Daten $x_1,\ldots,x_n$ ist.
   • Insbesondere wird häufig der sogenannte Interquartilsabstand $z_{0.75}-z_{0.25}$ betrachtet.
   • Beachte 
     • Die Quartile $z_{0.25}$ und $z_{0.75}$, das Minimum $x_{\min}$, das Maximum $x_{\max}$ sowie den Median $x_{\rm med}$ nennt man die Fünf-Maßzahlen-Charakteristik (bzw. kurz Fünfer-Charakteristik) der Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$.
     • Durch die Fünfer-Charakteristik $(x_{\min},z_{0.25},x_{\rm med},z_{0.75},x_{\max})$ lässt sich die Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ in vier Teilstichproben zerlegen, wobei diese Teilstichproben jeweils etwa ein Viertel der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ enthalten.
     • Wenn zusätzlich noch die Quantile $z_{0.05}$ und $z_{0.95}$ betrachtet werden, dann ergibt sich die Siebener-Charakteristik $(x_{\min},z_{0.05},z_{0.25},x_{\rm med},z_{0.75},z_{0.95},x_{\max})$ der Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$.
     • Es ist üblich, solche Zerlegungen der Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ durch einen sogenannten Box-Plot graphisch darzustellen.
     • Für das obenbetrachtete Beispiel von Stückzahlen eines bestimmten Ereignisses ergibt sich der folgende Box-Plot der Siebener-Charakteristik, wobei in diesem Fall $x_{\min}=z_{0.05}$ gilt: