t-Test und Konfidenzintervall für Linearkombinationen von Erwartungswerten

• Sei ${\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathbb{R}^k$ ein beliebiger Vektor.
  • Um einen Test zur Verifizierung der Hypothese $H_0:\,\sum_{i=1}^{k}a_i\theta_i=0$ bzw. ein Konfidenzintervall für die Linearkombination $\sum_{i=1}^{k}a_i\theta_i$ der Erwartungswerte $\theta_1,\ldots,\theta_k$ bzw. herzuleiten,
  • betrachten wir die folgenden Summen bzw. Mittelwerte der Stichprobenvariablen:

    $$Y_{i\cdot}=\sum\limits_{j=1}^{n_i}Y_{ij}\,,\qquad Y_{\cdot j }=\sum\limits_{i=1}^{k}Y_{ij}$$ (37)

    
    
    bzw.

    $$\overline Y_{i\cdot}=\frac{1}{n_i}\sum\limits_{j=1}^{n_i}Y_{ij}\,... ...Y_{\cdot\cdot}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}Y_{ij}\,.$$ (38)

    
    

• Dabei werden wir von nun an ausschließlich homoskedastische Störgrößen betrachten, die normalverteilt sind,
  • d.h., wir setzen voraus, dass $\sigma^2_1=\ldots=\sigma^2_k=\sigma^2>0$
  • und dass $\varepsilon _{ij}\sim$ N $(0,\sigma^2)$ für alle $i=1,\ldots,n_i$ und $j=1,\ldots,k$.
• Man kann dann die Gültigkeit der folgenden Verteilungs- und Unabhängigkeitseigenschaften zeigen:
  1. Für jedes ${\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathbb{R}^k$ gilt

     $$\sum\limits_{i=1}^k a_i\overline Y_{i\cdot}\sim\,{\rm N}\Bigl(\su... ...\frac{a_i^2}{n_i}\Bigr)\,,\qquad \frac{(n-k)S^2_p}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-k}\,,$$ (39)

     
     

  2. die Zufallsvariablen $\sum_{i=1}^k a_i\overline Y_{i\cdot}$ und $S_p^2$ sind unabhängig, wobei

     $$S_p^2=\frac{1}{n-k}\;\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^{n_i}\bigl(Y_{ij}-\overline Y_{i\cdot}\bigr)^2$$ (40)

     
     
     die sogenannte gepoolte Stichprobenvarianz (pooled sample variance) ist.

• Hieraus und aus der Definition der t-Verteilung (vgl. Abschnitt 3.1.3) folgt, dass für jedes ${\mathbf{a}}\not={\bf o}$

  $$\frac{\sum\limits_{i=1}^k a_i\overline Y_{i\cdot}- \sum\limits_{i... ..._p\,\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k\frac{a_i^2}{n_i}}}\;\sim\;{\rm t}_{n-k}\,.$$ (41)

  
  

• Beachte 
  • Aus (41) ergibt sich ein Test der Hypothese $H_0:\sum_{i=1}^k a_i\theta_i=0$ zum Niveau $1-\gamma\in(0,1)$ (gegen die Alternative $H_1:\sum_{i=1}^k a_i\theta_i\not=0$).
  • Dabei wird die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt, falls

    $$\Biggl\vert\frac{\sum\limits_{i=1}^k a_i\overline Y_{i\cdot}}{\sq... ...yle\sum\limits_{i=1}^k\frac{a_i^2}{n_i}}}\Biggr\vert> t_{n-k,1-(1-\gamma)/2}\,.$$ (42)

    
    

  • Außerdem ergibt sich aus (41) ohne weiteres das folgende Konfidenzintervall zum Niveau $\gamma\in(0,1)$ für $\sum_{i=1}^k a_i\theta_i$, denn mit Wahrscheinlichkeit $\gamma$ gilt

    $$\sum\limits_{i=1}^k a_i\overline Y_{i\cdot}-t_{n-k,1-(1-\gamma)/2... ...(1-\gamma)/2}\,\sqrt{S^2_p\, \displaystyle\sum\limits_{i=1}^k\frac{a_i^2}{n_i}}$$ (43)

    
    

  
  

• Durch eine geeignete Wahl des Vektors ${\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathbb{R}$ ergeben sich aus (42) Tests spezifischer Eigenschaften der Erwartungswerte $\theta_1,\ldots,\theta_k$.
  1. Für ${\mathbf{a}}=(1,-1,0,\ldots,0)$ ergibt sich aus (42) ein
     • Test der Hypothese $H_0:\theta_1=\theta_2$ zum Niveau $1-\gamma\in(0,1)$ (gegen die Alternative $H_1:\theta_1\not=\theta_2$).
     • Dabei wird die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt, falls

       $$\Biggl\vert\frac{\overline Y_{1\cdot}-\overline Y_{2\cdot} }{\sqr... ...(\frac{1}{n_1}\,+\,\frac{1}{n_2}\Bigr) }}\Biggr\vert> t_{n-k,1-(1-\gamma)/2}\,.$$ (44)

       
       

  2. Für ${\mathbf{a}}=(1,-1/2,-1/2,0,\ldots,0)$ ergibt sich aus (42) ein
     • Test der Hypothese $H_0:\theta_1=(\theta_2+\theta_3)/2$ zum Niveau $1-\gamma\in(0,1)$ (gegen die Alternative $H_1:\theta_1\not=(\theta_2+\theta_3)/2$).
     • Dabei wird die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt, falls

       $$\Biggl\vert\frac{\overline Y_{1\cdot}-\,\displaystyle\frac{1}{2}\... ...frac{1}{4n_2}\,+\,\frac{1}{4n_3}\Bigr) }}\Biggr\vert> t_{n-k,1-(1-\gamma)/2}\,.$$ (45)

       
       

• Beispiel 
  • Für das in Abschnitt 3.2.1 betrachtete Beispiel der Eingabe von Wörtern über drei verschiedene Tastaturen wollen wir nun prüfen, ob sich die beiden ersten Tastaturen hinsichtlich der jeweils erwarteten Anzahlen der eingegebenen Wörter je Minute signifikant voneinander unterscheiden ( $1-\gamma=0.05$).
  • Mit anderen Worten: Wir testen die Hypothese $H_0:\theta_1=\theta_2$ zum Niveau $1-\gamma=0.05$.
  • Hierfür berechnen wir zunächst den beobachteten Wert der Testgröße in (44), wobei sich für die Schätzer $\overline Y_{1\cdot}$, $\overline Y_{2\cdot}$, $\overline Y_{3\cdot}$ und $S^2_p$ die folgenden Werte ergeben:
    $$\overline Y_{1\cdot}=70.4\,,\qquad \overline Y_{2\cdot}=77.0\,,\qquad \overline Y_{3\cdot}=70.0$$
    und
    $$S^2_p=\frac{1}{9}\Bigl(8.6^2+12.6^2+8.4^2+19.4^2+6.6^2+3^2+8^2+5^2 +11^2+5^2+9^2+15^2\Bigr)=141.47\,.$$

  • Hieraus folgt, dass
    $$\Biggl\vert\frac{\overline Y_{1\cdot}-\overline Y_{2\cdot} }{\sqr... ...rac{70.4-77.0}{\sqrt{141.47\cdot 0.53}}\Bigr\vert=0.76<2.262= t_{9,\,0.975}\,.$$

  • Die Hypothese $H_0:\theta_1=\theta_2$, dass die Erwartungswerte $\theta_1$ und $\theta_2$ für die ersten beiden Tastaturen gleich sind, wird also nicht verworfen.