Poissonsche Zählmaße; Cox-Prozesse; Simluationsalgorithmus

Der in Abschnitt 2.2.1 betrachtete Begriff des Poissonschen Zählprozesses $\{N_t,t\ge 0\}$ mit $N_t=\sum_{k=1}^\infty {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_k\le t)$ und $S_n=T_1+\ldots +T_n$, wobei die Zufallsvariablen $T_1,T_2,\ldots:\Omega\to[0,\infty)$ unabhängig und identisch Exp($\lambda$)-verteilt sind, lässt sich wie folgt weiter verallgemeinern.

• Anstelle die Anzahl $N_t$ der Sprungpunkte $\{S_n\}$ nur in Intervallen der Form $[0,t]$ für $t\ge 0$ zu betrachten, kann man die Anzahl $N_B$ dieser Punkte in einer beliebigen Borel-Menge $B\in\mathcal{B}([0,\infty))$ betrachten, wobei

  $$N_B=\sum_{n=1}^\infty{1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_n\in B)\,.$$ (41)

  
  

• Man kann leicht zeigen, dass der mengen-indizierte Prozess $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}([0,\infty))\}$ die Eigenschaften eines zufälligen Zählmaßes hat, d.h., es gilt

  $$N_{\bigcup_{n=1}^\infty B_n}=\sum_{n=1}^\infty N_{B_n}$$ (42)

  
  
  für beliebige Borel-Mengen $B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{B}([0,\infty))$, die paarweise disjunkt sind.

Definition

$\;$ Das in (41) gegebene zufällige Zählmaß $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}([0,\infty))\}$, wobei $S_n=T_1+\ldots +T_n$ und die Zufallsvariablen $T_1,T_2,\ldots:\Omega\to[0,\infty)$ unabhängig und identisch Exp($\lambda$)-verteilt sind, wird homogenes Poissonsches Zählmaß mit der Intensität $\lambda$ genannt.

Unmittelbar aus Theorem 2.9 ergibt sich die Gültigkeit der folgende beiden Aussagen.

Theorem 2.12   Sei $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}([0,\infty))\}$ ein Poissonsches Zählmaß mit der Intensität $\lambda$. Dann gilt:

• Die Zufallsvariablen $N_{B_1},N_{B_2},\ldots$ sind unabhängig für beliebige beschränkte und paarweise disjunkte Borel-Mengen $B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{B}([0,\infty))$.
• Für jedes beschränkte $B\in\mathcal{B}([0,\infty))$ gilt $N_{B}\sim {\rm Poi}(\lambda\nu_1(B))$.

Beachte

$\;$ Mit Hilfe des Satzes über die monotone Konvergenz kann man leicht zeigen, dass die Mengenfunktion $\mu:\mathcal{B}([0,\infty))\to[0,\infty]$ mit

$$\mu(B)={\mathbb{E}\,}N_B\,,$$ (43)

die durch das zufällige Zählmaß $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}([0,\infty))\}$ induziert wird, $\sigma$-additiv ist, d.h., $\mu$ ist ein Maß.

Definition

$\;$ Das in (43) gegebene Maß $\mu$ wird Intensitätsmaß des zufälligen Zählmaßes $\{N_B\}$ genannt.

Beachte

$\;$

• Für das Intensitätsmaß $\mu$ eines homogenen Poissonschen Zählmaßes mit Intensität $\lambda$ gilt

  $$\mu(B)=\lambda\nu_1(B)\qquad \forall\,B\in\mathcal{B}([0,\infty))\,.$$ (44)

  
  

• Die am Ende von Abschnitt 1.2 erwähnte Variante des Existenzsatzes von Kolmogorow für beliebige Indexmengen $I$ ermöglicht es, Poissonsche Zählmaße mit allgemeineren Intensitätsmaßen als in (44) zu betrachten.

Definition

$\;$ Sei $\mu:\mathcal{B}([0,\infty))\to[0,\infty]$ ein beliebiges lokal-endliches Maß, d.h., $\mu(B)<\infty$ gilt für jede beschränkte Borel-Menge $B\in\mathcal{B}([0,\infty))$. Das zufällige Zählmaß $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}([0,\infty))\}$ wird (inhomogenes) Poissonsches Zählmaß mit dem Intensitätsmaß $\mu$ genannt, wenn

• die Zufallsvariablen $N_{B_1},N_{B_2},\ldots$ unabhängig sind für beliebige beschränkte und paarweise disjunkte Borel-Mengen $B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{B}([0,\infty))$ und
• $N_{B}\sim {\rm Poi}(\mu(B))$ für jedes beschränkte $B\in\mathcal{B}([0,\infty))$ gilt.

Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen und sogenannte doppelt-stochastische Poisson-Prozesse betrachten, die in der Literatur auch Cox-Prozesse genannt werden.

Definition

$\;$ Sei $\{\Lambda_b,\, B\in\mathcal{B}([0,\infty))\}$ ein beliebiges zufälliges Maß, das mit Wahrscheinlichkeit $1$ lokal-endlich ist.

• Das zufällige Zählmaß $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}([0,\infty))\}$ wird doppelt-stochastisches Poisson-Zählmaß bzw. Cox-Zählmaß mit dem zufälligen Intensitätsmaß $\Lambda$ genannt, wenn

  $$P\Bigl(\bigcap_{i=1}^n\left\{N_{(a_i,b_i]}=k_i\right\}\Bigr)= {\m... ...ac{\Lambda^{k_i}_{(a_i,b_i]}}{k_i!} \exp\bigl(- \Lambda_{(a_i,b_i]}\bigr)\Bigr)$$ (45)

  
  
  für beliebige $n\in\mathbb{N}$, $k_1,\ldots,k_n\in\{0,1,\ldots\}$ und $0\le a_1< b_1\le a_2< b_2\le\ldots\le a_n< b_n$ gilt.
• Der durch (45) gegebene Zählprozess $\{N_t,\, t\ge 0\}$ mit $N_t=N_{[0,t]}$ heißt doppelt-stochastischer Poisson-Prozess bzw. Cox-Prozess mit dem zufälligen Intensitätsmaß $\Lambda$.

Ein wichtiger Spezialfall liegt dann vor,

• wenn die Realisierungen des zufälligen Intensitätsmaßes $\Lambda$ mit Wahrscheinlichkeit 1 absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes sind, d.h.,
• wenn es einen stochastischen Prozess $\{\lambda_t,t\ge 0\}$ gibt, dessen Trajektorien (mit Wahrscheinlichkeit 1) Borel-messbare und lokal-integrierbare nichtnegative Funktionen sind, so dass für jede beschränkte Borel-Menge $B\in\mathcal{B}([0,\infty))$

  $$\Lambda_B=\int_B\lambda_t\,{\rm d}t<\infty$$ (46)

  
  
  mit Wahrscheinlichkeit $1$ gilt.
• Der stochastische Prozess $\{\lambda_t\}$ wird dann Intensitätsprozess von $\{N_B\}$ genannt.

Im folgenden Theorem wird eine Zeittransformation von homogenen Poisson-Prozessen (mit Intensität $\lambda=1$) betrachtet. Sie liefert einen Algorithmus zur Simulation von Cox-Prozessen mit vorgegebenem Intensitätsprozess.

Theorem 2.13    

• Sei $\{N^{\prime}_t,t\ge 0\}$ ein (homogener) Poisson-Prozess mit der Intensität $\lambda=1$, und sei $\{\lambda_t,t\ge 0\}$ ein beliebiger Intensitätsprozess.
• Die stochastischen Prozesse $\{N^{\prime}_t\}$ und $\{\lambda_t\}$ seien unabhängig.
• Dann ist der Zählprozess $\{N_t,t\ge 0\}$ mit

  $$N_t=N^{\prime}_{g_t} \qquad g_t=\int_0^t\lambda_v\, {\rm d}v$$ (47)

  
  
  ein Cox-Prozess mit dem Intensitätsprozess $\{\lambda_t\}$.

Beweis

 

• Wir müssen lediglich zeigen, dass (45) gilt.
• Wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit der Prozesse $\{N^{\prime}_t\}$ und $\{\lambda_t\}$ können wir annehmen, dass der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$, der beide Prozesse ,,trägt'', die Form
  $$(\Omega,\mathcal{F},P)=(\Omega_1\times\Omega_2,\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,P_1\times P_2)$$
  hat, wobei $\{N^{\prime}_t\}$ über $(\Omega_1,\mathcal{F}_1,P_1)$ und $\{\lambda_t\}$ über $(\Omega_2,\mathcal{F}_2,P_2)$ definiert ist.
• Aus der Definitionsgleichung (47) des Zählprozesses $\{N_t\}$ und aus den in Abschnitt 2.2.3 diskutierten Eigenschaften der bedingten Erwartung ergibt sich, dass
  

  $${P\Bigl(\bigcap_{i=1}^n\{N_{(a_i,b_i]}=k_i\}\Bigr) =P\Bigl(\bigcap_{i=1}^n\{N_{b_i}-N_{a_i}=k_i\}\Bigr)}$$

  $$= P\Bigl(\bigcap_{i=1}^n\bigl\{N^\prime_{ \int_0^{b_i}\lambda_v\,{\... ...ambda_v\,{\rm d}v}-N^\prime_{ \int_0^{a_i}\lambda_v\,{\rm d}v}=k_i\bigr\}\bigr)$$

  $$= {\mathbb{E}\,}\Bigl(\prod_{i=1}^n{1\hspace{-1mm}{\rm I}}\bigl(N^\... ...rime_{ \int_0^{a_i}\lambda_v\,{\rm d}v}=k_i\bigr)\mid \{\lambda_t\}\bigr)\Bigr)$$

  $$= \int_{\Omega_2} {\mathbb{E}\,}\bigl(\prod_{i=1}^n{1\hspace{-1mm}{... ...ime_{ \int_0^{a_i}\lambda_v(\omega_2)\,{\rm d}v}=k_i\bigr) P_2({\rm d}\omega_2)$$

  $$= {\mathbb{E}\,}\Bigl(\prod_{i=1}^n {\mathbb{E}\,}\bigl( {1\hspace{... ...e_{ \int_0^{a_i}\lambda_v\,{\rm d}v}=k_i\bigr)\mid \{\lambda_t\}\bigr)\Bigr)\,,$$

  
  
  wobei sich die beiden letzten Gleichheiten aus den Unabhängigkeitseigenschaften der Prozesse $\{N^{\prime}_t\}$ und $\{\lambda_t\}$ und aus der Darstellungsformel (40) der regulären bedingten Erwartung für Funktionale unabhängiger stochastischer Prozesse ergeben.
• Weil $\{N^\prime_t\}$ ein homogener Poisson-Prozess mit der Intensität $\lambda=1$ ist, der unabhängig von $\{\lambda_t\}$ ist, ergibt sich durch die erneute Anwendung der Darstellungsformel (40), dass für jedes $i=1,\ldots,n$
  $${\mathbb{E}\,}\bigl( {1\hspace{-1mm}{\rm I}}\bigl(N^\prime_{ \int... ...}v\bigr)^{k_i}}{k_i!} \exp\bigl(- \int_{a_i}^{b_i}\lambda_v\,{\rm d}v\bigr)\,.$$

• Hieraus ergibt sich, dass
  $$P\Bigl(\bigcap_{i=1}^n\{N_{(a_i,b_i]}=k_i\}\Bigr)= {\mathbb{E}\,}... ...r)^{k_i}}{k_i!} \exp\bigl(- \int_{a_i}^{b_i}\lambda_v\,{\rm d}v\bigr)\Bigr)\,,$$
  wobei der letzte Ausdruck mit der rechten Seite von (45) übereinstimmt.
  
  $\Box$

Bespiele

$\;$

1. Eine spezielle Klasse von Cox-Prozessen sind die gemischten Poisson-Prozesse, deren Intensitätsprozess $\{\lambda_t\}$ durch $\lambda_t=Z$ gegeben ist, wobei $Z:\Omega\to[0,\infty)$ eine beliebige nichtnegative Zufallsvariable ist.
2. Sei $\lambda^\prime:[0,\infty)\to[0,\infty)$ eine periodische (und deterministische) Funktion mit der Periode $1$, und sei $\{N^{\prime}_t,t\ge 0\}$ ein (homogener) Poisson-Prozess mit der Intensität $\lambda=1$.
   • Dann wird der Zählprozess $\{N_t,t\ge 0\}$ mit
     $$N_t=N^\prime_{g_t}$$   und$$\qquad g_t=\int_0^t\lambda^\prime_v\, {\rm d}v$$
     ein periodischer Poisson-Prozess genannt, der im allgemeinen keine stationären Zuwächse hat.
   • Es ist jedoch möglich, auf die folgende Weise einen entsprechenden Cox-Prozess mit stationären Zuwächsen zu konstruieren.
     • Sei nämlich $U:\Omega\to[0,1]$ eine $[0,1]$-gleichverteilte Zufallsvariable, die unabhängig von $\{N^{\prime}_t\}$ ist. Außerdem sei
       $$\lambda_t=\lambda^\prime_{t+U}$$   und$$\qquad \Lambda_t=\int_0^t\lambda_s\,{\rm d}s\,.$$

     • Dann ergibt sich aus Theorem 2.13, dass $\{N^{*}_t, t\ge 0\}$ mit $N^{*}_t=N^{\prime}_{\Lambda_t}$ ein Cox-Prozess ist.
     • Außerdem kann man sich leicht überlegen, dass der Cox-Prozess $\{N^{*}_t\}$ stationäre Zuwächse hat.