Anfangsverteilung und Übergangsfunktion

Um den Begriff eines Markow-Prozesses $\{X_t,\,t\ge 0\}$ mit stetiger Zeit und mit Werten in der Menge $E=\{1,2,\ldots,\ell\}$ einzuführen, betrachten wir erneut

• einen Vektor von Wahrscheinlichkeiten ${\boldsymbol{\alpha}}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_\ell)^\top$ mit $\sum_{i\in E}\alpha_i=1$ sowie
• eine Familie von stochastischen Matrizen ${\mathbf{P}}(h)= (p_{ij}(h))_{i,j\in E}$ für jedes $h\ge 0$.

Beachte

 

• Im Unterschied zu Markow-Prozessen mit diskreter Zeit muss nun vorausgesetzt werden, dass

  $${\mathbf{P}}(h_1+h_2)={\mathbf{P}}(h_1){\mathbf{P}}(h_2)$$ (8)

  
  
  für beliebige $h_1,h_2\ge 0$ gilt, wobei die Matrix-Identität (8) wiederum die Gleichung von Chapman-Kolmogorow genannt wird.
• Außerdem wird vorausgesetzt, dass

  $$\lim_{h\downarrow 0}{\mathbf{P}}(h)={\mathbf{P}}(0)={\mathbf{I}}\,.$$ (9)

  
  

• Es ist nicht schwierig zu zeigen, dass die Matrix-Funktion ${\mathbf{P}}(h)$ dann gleichmäßig stetig in $h\ge 0$ ist.

Definition

$\;$ 

1. Eine Familie von stochastischen Matrizen $\{{\mathbf{P}}(h),\ h>0\}$, die den Bedingungen (8) und (9) genügt, wird Matrix-Übergangsfunktion bzw. kurz Übergangsfunktion genannt.
2. Ein stochastischer Prozess $\{X_t, t\ge 0\}$ mit Werten in $E=\{1,2,\ldots,\ell\}$ heißt homogener Markow-Prozess, wenn es eine Übergangsfunktion $\{{\mathbf{P}}(h),h\ge 0\}$ und eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ${\boldsymbol{\alpha}}$ über $E$ gibt, so dass

   $$P(X_0=i_0,X_{t_1}=i_1,\ldots,X_{t_n}=i_n) =\alpha_{i_0}p_{i_0i_1}(t_1)p_{i_{1}i_2}(t_2-t_{1})\ldots p_{i_{n-1}i_n}(t_n-t_{n-1})\,,$$ (10)

   
   
   für beliebige $n=0,1,\ldots,\; i_0,i_1,\ldots,i_n\in E,\; 0\le t_1\le\ldots \le t_n$ gilt.
3. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ${\boldsymbol{\alpha}}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_\ell)^\top$ heißt Anfangsverteilung des Markow-Prozesses $\{X_t\}$.

Ähnlich wie für Markow-Ketten in Theorem MK-2.1 lässt sich die folgende Charakterisierung von homogenen Markow-Prozessen mit stetiger Zeit herleiten, die wir deshalb ohne Beweis angeben. Das Adjektiv ,,homogen'' werden wir im Folgenden der Kürze wegen weglassen.

Theorem 2.14   Ein stochastischer Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ mit Werten in $E=\{1,2,\ldots,\ell\}$ ist genau dann ein Markow-Prozess, wenn es eine Übergangsfunktion $\{{\mathbf{P}}(h),h\ge 0\}$ gibt, so dass

$$P(X_{t_n}=i_n\mid X_{t_{n-1}}=i_{n-1},\ldots,X_{t_1}=i_1,X_0=i_0) = p_{i_{n-1}i_n}(t_n-t_{n-1})$$ (11)

für diejenigen $n\ge 1,\; i_0,i_1,\ldots,i_n\in E$ und $0\le t_1\le\ldots \le t_n$, für die $P(X_{t_{n-1}}=i_{n-1},\ldots,X_{t_1}=i_1,X_0=i_0)>0$ gilt.

Analog zu Korollar MK-2.1 gilt auch für Markow-Prozesse mit stetiger Zeit die folgende bedingte Unabhängigkeitseigenschaft.

Korollar 2.1   Sei $\{X_t\}$ ein Markow-Prozess. Dann gilt

$$P(X_{t_n}=i_n\mid X_{t_{n-1}}=i_{n-1},\ldots,X_{t_1}=i_1,X_0=i_0) =P(X_{t_n}=i_n\mid X_{t_{n-1}}=i_{n-1})\,,$$ (12)

falls $P(X_{t_{n-1}}=i_{n-1},\ldots,X_{t_1}=i_1,X_0=i_0)>0$.