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Vollständige Orthonormalsysteme im ; Haar-Funktionen
und Schauder-Funktionen
Wir betrachten zunächst den Fall, dass das
Einheitsintervall ist. Dabei benötigen wir zur Konstruktion von
Wiener-Prozessen in einige analytische Hilfsmittel.
- Insbesondere betrachten wir den Hilbert-Raum
- aller auf dem Einheitsintervall definierten
(Borel-messbaren) Funktionen
, die bezüglich des
Lebesgue-Maßes quadratisch integrierbar sind, d.h., für die
gilt.
- Für beliebige
sei
das zugehörige Skalarprodukt.
- Eine Folge
von Funktionen
wird
ein vollständiges Orthonormalsystem in genannt,
- wenn
und
für beliebige und
- wenn für jedes die Gültigkeit von für jedes
impliziert, dass für fast jedes .
Die Konstruktion von Wiener-Prozessen in beruht auf der
Idee,
- Definition
- Die durch den Ansatz
für
und
gegebenen Funktionen
heißen Haar-Funktionen.
- Beweis
-
- Unmittelbar aus der Definition der Haar-Funktionen folgt, dass
und
für beliebige mit
gilt.
- Außerdem kann man leicht zeigen, dass das Orthonormalsystem
vollständig in ist.
- Die Gültigkeit von (5) ergibt sich aus der
Vollständigkeit des Orthonormalsystems
, vgl.
beispielsweise Satz 5.3.6 in W. Arendt (2002) Funktionalanalysis
(Vorlesungskript, Universität Ulm) bzw. Satz V.4.9 in D. Werner
(1997) Funktionalanalysis (Springer, Berlin).
- Beweis
-
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Ursa Pantle
2005-07-13