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Vollständige Orthonormalsysteme im $ L_2$; Haar-Funktionen und Schauder-Funktionen

Wir betrachten zunächst den Fall, dass $ I=[0,1]$ das Einheitsintervall ist. Dabei benötigen wir zur Konstruktion von Wiener-Prozessen in $ [0,1]$ einige analytische Hilfsmittel.

Die Konstruktion von Wiener-Prozessen in $ I=[0,1]$ beruht auf der Idee,

Definition
$ \;$ Die durch den Ansatz
$\displaystyle H_1(s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$   $\displaystyle \mbox{für jedes $s\in[0,1]$,}$ (2)
$\displaystyle H_{2^{m+1}}(s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle
2^{\frac{m}{2}} &\mbox{für...
...ac{2^{m+1}-1}{2^{m+1}}\;,\,1\Bigr]\,,$}\\
0 & \mbox{sonst,}
\end{array}\right.$ (3)
$\displaystyle H_{2^m+k}(s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle
2^{\frac{m}{2}} &\mbox{für...
...1}{2^{m+1}}\;,\;\frac{k}{2^m}\Bigr)\,,$}\\
0 & \mbox{sonst}
\end{array}\right.$ (4)

für $ k=1,2,\ldots,2^m-1$ und $ m=0,1,2,\ldots$ gegebenen Funktionen $ H_n:[0,1]\to\mathbb{R}$ heißen Haar-Funktionen.


Lemma 2.5    

Beweis
 

Lemma 2.6    

Beweis
 



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Ursa Pantle 2005-07-13