Eigenschaften normalverteilter Zufallsvariablen

Bei der Konstruktion von Wiener-Prozessen benötigen wir noch die folgenden Eigenschaften von normalverteilten Zufallsvariablen.

Lemma 2.7   $\;$ Sei $\{Y_n,\,n\ge 1\}$ eine Folge von (nicht notwendig unabhängigen) N$(0,1)$-verteilten Zufallsvariablen über einunddemselben Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$. Dann gilt mit Wahrscheinlichkeit $1$, dass

$$\vert Y_n\vert= {\rm O}((\log n)^{1/2}) \mbox{für $n\to\infty$.}$$ (8)

Beweis

 

• Sei $X$ eine beliebige N$(0,1)$-verteilte Zufallsvariable. Dann gilt für jedes $x>0$, dass

  $$(2\pi)^{-1/2}\Bigl(x+\;\frac{1}{x}\Bigr)^{-1}\; {\rm e}^{-x^2/2}\le P(X>x)\le (2\pi)^{-1/2}x^{-1}\; {\rm e}^{-x^2/2}\,.$$ (9)

  
  
  • Denn mit partieller Integration ergibt sich, dass
    $$\int_x^\infty \;\frac{1}{y^2}\;{\rm e}^{-y^2/2}\,{\rm d}y= \Bigl[... ...rm e}^{-y^2/2}\Bigr]_x^\infty\;-\; \int_x^\infty \; {\rm e}^{-y^2/2}\,{\rm d}y$$
    und somit
    $$\int_x^\infty \Bigl(1+\;\frac{1}{y^2}\Bigr)\;{\rm e}^{-y^2/2}\,{\rm d}y=\;\frac{1}{x}\;{\rm e}^{-x^2/2}\,.$$

  • Hieraus folgt, dass
    $$\frac{1}{x}\;{\rm e}^{-x^2/2}\;>\;\int_x^\infty \;{\rm e}^{-y^2/2... ...m d}y\;>\;\frac{1}{x}\;{\rm e}^{-x^2/2}\;\Bigl(1+\;\frac{1}{x^2}\Bigr)^{-1}\,.$$

  • Wenn sämtliche Ausdrücke der letzten Ungleichungskette durch $\sqrt{2\pi}$ geteilt werden, dann ergibt sich (9), weil $P(X>x)=(2\pi)^{-1/2}\,\int_x^\infty \;{\rm e}^{-y^2/2}\,{\rm d}y$.
• Aus (9) ergibt sich, dass für jedes $c>\sqrt{2}$
  $$\sum_{n=3}^\infty P(\vert Y_n\vert>c\sqrt{\log n})\le \sqrt{\frac... ...)\le \sqrt{\frac{1}{\pi}} \;\sum_{n=3}^\infty\; n^{-\;\frac{c^2}{2}}<\infty\,.$$

• Aus dem Lemma von Borel-Cantelli (vgl. Lemma WR-2.3) ergibt sich nun die Behauptung.
  
  $\Box$

Lemma 2.8   $\;$ Die Zufallsvariablen $Y_1,Y_n,\ldots$ seien unabhängig und N$(0,1)$-normalverteilt. Außerdem seien $a_i,b_i\in\mathbb{R}$ beliebige Konstanten, so dass für jedes $m=1,2,\ldots$

$$\sum_{k=1}^{2^m}\vert a_{2^m+k}\vert\le 2^{-\frac{m}{2}} \qquad \sum_{k=1}^{2^m}\vert b_{2^m+k}\vert\le 2^{-\frac{m}{2}}\;.$$ (10)

Dann existieren die Grenzwerte $U=\sum_{i=1}^\infty a_i Y_i$ und $V=\sum_{i=1}^\infty b_i Y_i$ mit Wahrscheinlichkeit $1$, und es gilt

$$U\sim\; {\rm N}(0,\,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^2) \qquad V\sim\;{\rm N}(0,\,\sum\limits_{i=1}^\infty b_i^2)\,,$$ (11)

wobei

$${\rm Cov\,}(U,V)=\sum_{i=1}^\infty a_i b_i\,.$$ (12)

Außerdem sind die Zufallsvariablen $U$ und $V$ sind genau dann unabhängig, wenn ${\rm Cov\,}(U,V)=0$.

Beweis

 

• Mit Hilfe von Lemma 2.7 ergibt sich auf die gleiche Weise wie im Beweis von Lemma 2.6, dass die Grenzwerte $U$ und $V$ mit Wahrscheinlichkeit $1$ existieren und somit wohldefinierte Zufallsvariablen sind.
• Für jedes $m=1,2,\ldots$ ergibt sich die Normalverteilheit der Zufallsvariablen $U^{(m)}=\sum_{i=1}^m a_i Y_i$ und $V^{(m)}=\sum_{i=1}^m b_i Y_i$ unmittelbar aus der Faltungsstabilität der Normalverteilung (vgl. Korollar WR-3.2), wobei
  $$U^{(m)}\sim\; {\rm N}(0,\,\sum\limits_{i=1}^m a_i^2)$$   und$$\qquad V^{(m)}\sim\;{\rm N}(0,\,\sum\limits_{i=1}^m b_i^2)\,.$$

• Hieraus folgt (11), weil $U^{(m)}\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}U$ bzw. $V^{(m)}\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}V$ für $m\to\infty$.
• Die Formel (12) ergibt sich aus der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ und aus den allgemeinen Rechenregeln für die Kovarianz, und zwar gilt
  

  $${\rm Cov\,}(U,V) = \lim\limits_{m\to\infty} {\rm Cov\,} \Bigl(\sum\limits_{i=1}^m a_... ...}\sum\limits_{i=1}^m a_i{\rm Cov\,}\Bigl(Y_i,\,\sum\limits_{j=1}^m b_jY_j\Bigr)$$

  $$= \lim\limits_{m\to\infty}\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^m a... ..._i,Y_j) =\lim\limits_{m\to\infty}\sum\limits_{i=1}^m a_ib_i{\rm Cov\,}(Y_i,Y_i)$$

  $$= \sum\limits_{i=1}^\infty a_ib_i\,.$$

  
  

• Die Notwendigkeit der Bedingung in Teilaussage 2 ergibt sich aus der Multiplikationsformel für den Erwartungswert des Produktes von unabhängigen Zufallsvariablen; vgl. Korollar WR-4.5.
• Um die Hinlänglichkeit der Bedingung in Teilaussage 2 zu beweisen, betrachten wir die (gemeinsame) charakteristische Funktion $\varphi_{U,V}(t,s)$ des Zufallsvektors $(U,V)$.
  • Weil $(U^{(m)},V^{(m)})\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}(U,V)$ für $m\to\infty$, gilt dann für beliebige $t,s\in\mathbb{R}$
    

    $$\varphi_{U,V}(t,s) = \lim\limits_{m\to\infty}{\mathbb{E}\,}\exp\Bigl({\rm i}\,\Bigl(t\... ...nfty}{\mathbb{E}\,}\exp\Bigl({\rm i}\,\sum\limits_{i=1}^m (ta_i+s b_i)Y_i\Bigr)$$

    $$= \lim\limits_{m\to\infty}\prod\limits_{i=1}^m{\mathbb{E}\,}\exp\Bi... ...s_{m\to\infty} \prod\limits_{i=1}^m\exp\Bigl(-\;\frac{ (ta_i+s b_i)^2}{2}\Bigr)$$

    $$= \exp\Bigl(-\;\frac{\sum\limits_{i=1}^\infty (ta_i+s b_i)^2}{2}\Bi... ...frac{\sum\limits_{i=1}^\infty (ta_i)^2+ \sum\limits_{j=1}^m (s b_j)^2}{2}\Bigr)$$

    $$= \exp\Bigl(-\;\frac{t^2\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^2}{2}\Bigr)\;\exp\Bigl(-\;\frac{s^2\sum\limits_{j=1}^\infty b_j^2}{2}\Bigr)$$

    $$= \varphi_{U}(t)\;\varphi_{V}(s) \,,$$

    
    

  • wobei sich die Gleichheit $(*)$ aus der Annahme ergibt, dass die Zufallsvariablen $U$ und $V$ unkorreliert sind und dass deshalb ${\rm Cov\,}(U,V)=\sum_{i=1}^\infty a_ib_i=0$ gilt.
• Die Hinlänglichkeit der Bedingung in Teilaussage 2 ergibt sich nun
  • aus dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische Funktionen von Zufallsvektoren (der eine Verallgemeinerung des in Korollar WR-5.5 betrachteten eindimensionalen Falles ist),
  • weil das Produkt der charakteristischen Funktionen von unabhängigen Zufallsvektoren $Z$ und $Z^\prime$ gleich der charakteristischen Funktion des Zufallsvektors $(Z,Z^\prime)$ ist.
    
    $\Box$