Wiener-Prozess

Der Wiener-Prozess, der in der Literatur auch Brownsche Bewegung genannt wird, ist ein weiteres grundlegendes Modell in der Theorie stochastischer Prozesse. Dabei nehmen wir f�r die Indexmenge an, dass entweder f�r eine (endliche) Zahl oder gilt.

Definition

Ein stochastischer Prozess �ber einem (im allgemeinen nicht n�her spezifizierten) Wahrscheinlichkeitsraum heisst Wiener-Prozess (im Zeitintervall ), wenn

• unabh�ngige Zuw�chse hat,
• f�r beliebige mit ,
• ,
• die Trajektorie , , f�r jedes eine stetige Funktion ist.

Beachte

• Aus dem Existenzsatz von Kolmogorow, d.h. aus Theorem 1.1, folgt, dass es einen Wahrscheinlichkeitsraum und einen stochastischen Prozess �ber diesem Wahrscheinlichkeitsraum gibt, so dass die ersten drei Bedingungen in der Definition des Wiener-Prozesses erf�llt sind.
• Aus dem Stetigkeitssatz von Kolmogorow, d.h. aus Theorem 1.3, folgt au�erdem, dass zu jedem Prozess , der den ersten drei Bedingungen in der Definition des Wiener-Prozesses gen�gt, eine stetige Modifikation existiert.
• Weniger offensichtlich ist, ob bzw. wie man einen solchen Prozess (mit unabh�ngigen und normalverteilten Zuw�chsen) explizit konstruieren kann, dessen Trajektorien stetige Funktionen sind.
• In den drei folgenden Abschnitten erl�utern wir eine Methode zur Konstruktion von Wiener-Prozessen (mit stetigen Trajektorien), die gleichzeitig zu einem Algorithmus zur Simulation von Wiener-Prozessen f�hrt.

• Vollst�ndige Orthonormalsysteme im ; Haar-Funktionen und Schauder-Funktionen
• Eigenschaften normalverteilter Zufallsvariablen
• Konstruktion von Wiener-Prozessen; Simulationsalgorithmus
• Darstellung als Markow-Prozess bzw. Gau�-Prozess
• Verteilung des Maximums
• Weitere Verteilungs- und Pfadeigenschaften