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Wiener-Prozess
Der Wiener-Prozess, der in der Literatur auch Brownsche
Bewegung genannt wird, ist ein weiteres grundlegendes Modell in
der Theorie stochastischer Prozesse. Dabei nehmen wir f�r die
Indexmenge
an, dass entweder
f�r eine (endliche)
Zahl
oder
gilt.
- Definition
Ein stochastischer Prozess
�ber einem (im
allgemeinen nicht n�her spezifizierten) Wahrscheinlichkeitsraum
heisst Wiener-Prozess (im Zeitintervall
), wenn
-
unabh�ngige Zuw�chse hat,
-
f�r beliebige
mit
,
,
- die Trajektorie
,
, f�r jedes
eine stetige Funktion ist.
- Beachte
- Aus dem Existenzsatz von Kolmogorow, d.h. aus
Theorem 1.1, folgt, dass es einen
Wahrscheinlichkeitsraum und einen stochastischen Prozess
�ber diesem Wahrscheinlichkeitsraum gibt, so
dass die ersten drei Bedingungen in der Definition des
Wiener-Prozesses erf�llt sind.
- Aus dem Stetigkeitssatz von Kolmogorow, d.h. aus
Theorem 1.3, folgt au�erdem, dass zu jedem Prozess
, der den ersten drei Bedingungen in der
Definition des Wiener-Prozesses gen�gt, eine stetige Modifikation
existiert.
- Weniger offensichtlich ist, ob bzw. wie man einen solchen Prozess
(mit unabh�ngigen und normalverteilten Zuw�chsen) explizit
konstruieren kann, dessen Trajektorien stetige Funktionen sind.
- In den drei folgenden Abschnitten erl�utern wir eine Methode zur
Konstruktion von Wiener-Prozessen (mit stetigen Trajektorien),
die gleichzeitig zu einem Algorithmus zur Simulation von
Wiener-Prozessen f�hrt.
Unterabschnitte
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Ursa Pantle
2005-07-13