Wiener-Prozess

Der Wiener-Prozess, der in der Literatur auch Brownsche Bewegung genannt wird, ist ein weiteres grundlegendes Modell in der Theorie stochastischer Prozesse. Dabei nehmen wir für die Indexmenge $I$ an, dass entweder $I=[0,b]$ für eine (endliche) Zahl $b\in(0,\infty)$ oder $I=[0,\infty)$ gilt.

Definition

$\;$ Ein stochastischer Prozess $\{X_t,\, t\in I\}$ über einem (im allgemeinen nicht näher spezifizierten) Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega.\mathcal{F},P)$ heisst Wiener-Prozess (im Zeitintervall $I$), wenn

• $\{X_t,\, t\in I\}$ unabhängige Zuwächse hat,
• $X_{t_2}-X_{t_1}\sim {\rm N}(0,t_2-t_1)$ für beliebige $t_1,t_2\in I$ mit $t_1<t_2$,
• $X_0=0$,
• die Trajektorie $t\to X_t(\omega)$, $t\in I$, für jedes $\omega\in\Omega$ eine stetige Funktion ist.

Beachte

$\;$

• Aus dem Existenzsatz von Kolmogorow, d.h. aus Theorem 1.1, folgt, dass es einen Wahrscheinlichkeitsraum und einen stochastischen Prozess $\{X_t,\, t\in I\}$ über diesem Wahrscheinlichkeitsraum gibt, so dass die ersten drei Bedingungen in der Definition des Wiener-Prozesses erfüllt sind.
• Aus dem Stetigkeitssatz von Kolmogorow, d.h. aus Theorem 1.3, folgt außerdem, dass zu jedem Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$, der den ersten drei Bedingungen in der Definition des Wiener-Prozesses genügt, eine stetige Modifikation existiert.
• Weniger offensichtlich ist, ob bzw. wie man einen solchen Prozess (mit unabhängigen und normalverteilten Zuwächsen) explizit konstruieren kann, dessen Trajektorien stetige Funktionen sind.
• In den drei folgenden Abschnitten erläutern wir eine Methode zur Konstruktion von Wiener-Prozessen (mit stetigen Trajektorien), die gleichzeitig zu einem Algorithmus zur Simulation von Wiener-Prozessen führt.