Filtrationen und Stoppzeiten

Definition

$\;$ Sei $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum.

• Eine Familie $\{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$ von Teil-$\sigma$-Algebren von $\mathcal{F}$ heißt Filtration, wenn $\mathcal{F}_s\subset\mathcal{F}_t\subset\mathcal{F}$ für beliebige $s,t\ge 0$ mit $s\le t$ gilt.
  • Die Filtration $\{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$ heißt vollständig, wenn $\mathcal{F}_0$ (und damit auch $\mathcal{F}_t$ für jedes $t\ge 0$) sämtliche Nullmengen enthält.
  • Die Filtration $\{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$ heißt rechtsstetig, wenn $\mathcal{F}_t=\bigcap_{u>t}\mathcal{F}_u$ für jedes $t\ge 0$.
• Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein stochastischer Prozess über $(\Omega,\mathcal{F},P)$, und für jedes $t\ge 0$ sei $\mathcal{F}_t^X$ die kleinste $\sigma$-Algebra, für die
  $$\{\omega\in\Omega:\,(X_{t_1}(\omega),\ldots,X_{t_n}(\omega))\in B\}\in\mathcal{F}_t^X$$
  für beliebige $n\ge 1$, $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ und $t_1,\ldots,t_n\in[0,t]$ gilt. Dann heißt $\{\mathcal{F}^X_t,\,t\ge 0\}$ die natürliche Filtration, die von $\{X_t\}$ erzeugt wird.
• Sei $\{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$ eine beliebige Filtration, und sei $T:\Omega\to[0,\infty]$ eine beliebige Zufallsvariable über $(\Omega,\mathcal{F},P)$. Man sagt, dass $T$ eine Stoppzeit (bezüglich der Filtration $\{\mathcal{F}_t\}$) ist, wenn

  $$\{\omega\in\Omega:\, T(\omega)\le t\}\in\mathcal{F}_t\qquad\forall\, t\in[0,\infty)\,.$$ (1)

  
  

Beachte

$\;$ Wir werden stets (o.B.d.A.) voraussetzen, dass die jeweils betrachtete Filtration $\{\mathcal{F}_t\}$ vollständig ist.

Lemma 3.5   $\;$ Sei $\{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$ eine rechtsstetige Filtration. Die Zufallsvariable $T:\Omega\to[0,\infty]$ ist genau dann eine Stoppzeit, wenn

$$\{T<t\}\in\mathcal{F}_t\qquad\forall\,t\in[0,\infty)\,.$$ (2)

Beweis

$\;$

• Für jedes $\varepsilon>0$ gilt offenbar, dass $\{T\le t\}=\bigcap_{u\in(t,t+\varepsilon)}\{T<u\}$.
• Aus (2) und aus der Rechtsstetigkeit der Filtration $\{\mathcal{F}_t\}$ ergibt sich somit, dass
  $$\{T\le t\}\in\bigcap_{u> t} \mathcal{F}_u=\mathcal{F}_t\qquad\forall\, t\in[0,\infty)\,.$$

• Sei nun $T$ eine Stoppzeit. Dann gilt
  $$\{T<t\}=\bigcup_{\varepsilon\in(0,t)}\{T\le t-\varepsilon\}\in \b... ...athcal{F}_{t-\varepsilon}\subset\mathcal{F}_t\qquad\forall\, t\in[0,\infty)\,.$$
  
   
    $\Box$
  
  
  

Definition

$\;$ Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein stochastischer Prozess über dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ mit der Filtration $\{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$. Man sagt, dass der Prozess $\{X_t\}$ adaptiert (bezüglich der Filtration $\{\mathcal{F}_t\}$) ist, wenn

$$\{X_t\in B\}\in\mathcal{F}_t\qquad \forall\,t\ge 0,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\,.$$ (3)

Außerdem heißt die Abbildung $T_B:\Omega\to[0,\infty]$ mit $T_B(\omega)=\inf\{t\ge 0:\, X_t(\omega)\in B\}$ die Ersterreichungszeit der Borel-Menge $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ durch den Prozess $\{X_t\}$.

Für ,,càdlàg'' Prozesse, deren Trajektorien mit Wahrscheinlichkeit $1$ rechtsstetige Funktionen mit linksseitigen Grenzwerten sind (vgl. Abschnitt 1.4), diskutieren wir nun einige Beispiele von Stoppzeiten.

Theorem 3.6   $\;$ Sei $\{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$ eine rechtsstetige Filtration und sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein adaptierter càdlàg Prozess. Für jede offene Menge $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ist dann die Ersterreichungszeit $T_B$ eine Stoppzeit. Wenn $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ eine abgeschlossene Menge ist, dann ist die Abbildung $\widetilde T_B:\Omega\to[0,\infty]$ mit

$$\widetilde T_B(\omega)=\inf\{t\ge0:\,X_t(\omega)\in B\;\;$$oder$$\;\; X_{t-}(\omega)\in B\}$$

eine Stoppzeit, wobei $X_{t-}=\lim_{s\uparrow t}X_s$.

Beweis

$\;$

• Sei $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ zunächst eine offene Menge.
  • Wegen Lemma 3.5 genügt es zu zeigen, dass $\{T_B<t\}\in\mathcal{F}_t$ für jedes $t\in[0,\infty)$ gilt.
  • Andererseits gilt
    $$\{T_B<t\}=\bigcup_{s\in\mathbb{Q}\cap[0,t)} \{X_s\in B\}\,,$$
    weil $B$ eine offene Menge ist und $\{X_t\}$ rechtsstetige Trajektorien hat.
  • Hieraus ergibt sich der erste Teil der Behauptung, weil $\{X_s\in B\}\in\mathcal{F}_s\subset\mathcal{F}_t$ für jedes $s\le t$.
• Sei nun $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ eine abgeschlossene Menge.
  • Für jedes $\varepsilon>0$ bezeichnen wir mit $B_\varepsilon=\{x\in\mathbb{R}:\,d(x,B)<\varepsilon\}$ die sogenannte $\varepsilon$-,,Parallelmenge'' der Menge $B$, wobei $d(x,B)=\min\{\vert x-y\vert:\,y\in B\}$ der kleinste euklidische Abstand des Punktes $x\in\mathbb{R}$ zu einem Punkt von $B$ ist.
  • Dann ist $B_\varepsilon$ eine offene Menge, und man kann sich leicht überlegen, dass
    $$\{\widetilde T_B\le t\}=\{X_t\in B\}\cup\{X_{t-}\in B\}\cup\bigcap_{n\ge 1}\bigcup_{s\in\mathbb{Q}\cap[0,t)}\{X_s\in B_{1/n}\}\,.$$

  • Weil $\{X_t\}$ adaptiert ist, gehören sämtliche Ereignisse auf der rechten Seite der letzten Gleichheit zu $\mathcal{F}_t$.
    
    $\Box$

Theorem 3.7   $\;$ Seien $T,T^\prime:\Omega\to[0,\infty]$ beliebige Stoppzeiten. Dann sind auch $\min\{T,T^\prime\}$, $\max\{T,T^\prime\}$, $T+T^\prime$ bzw. $\alpha T$ für jedes $\alpha>1$ Stoppzeiten.

Beweis

$\;$

• Weil $T$ und $T^\prime$ Stoppzeiten sind, gilt $\{T\le t\}\in\mathcal{F}_t$ bzw. $\{T^\prime\le t\}\in\mathcal{F}_t$ und somit
  $$\{\min\{T,T^\prime\}\le t\}=\{T\le t\}\cup\{T^\prime\le t\}\in\mathcal{F}_t\,,$$
  d.h., $\min\{T,T^\prime\}$ ist eine Stoppzeit.
• Völlig analog ergibt sich, dass $\max\{T,T^\prime\}$ ein Stoppzeit ist, denn aus $\{T\le t\}\in\mathcal{F}_t$ und $\{T^\prime\le t\}\in\mathcal{F}_t$ folgt, dass
  $$\{\max\{T,T^\prime\}\le t\}=\{T\le t\}\cap\{T^\prime\le t\}\in\mathcal{F}_t\,.$$

• Um zu zeigen, dass auch $T+T^\prime$ eine Stoppzeit ist, genügt es zu zeigen, dass $\{T+T^\prime>t\}\in\mathcal{F}_t$ für jedes $t\ge 0$.
  • Dies ergibt sich aus der Identität
    $$\{T+T^\prime>t\}=\{T>t\}\cup\{T^\prime>t\}\cup\{T\ge t,\,T^\prime>0\}\cup\{0<T<t,\,T+T^\prime>t\}\,.$$

  • Denn es ist klar, dass die ersten drei Ereignisse auf der rechten Seite der letzten Gleichheit zu $\mathcal{F}_t$ gehören,
  • und für das vierte Ereignis gilt
    $$\{0<T<t,\,T+T^\prime>t\}=\bigcup_{s\in\mathbb{Q}\cap[0,t)}\{s<T<t,\,T^\prime>t-s\}\in\mathcal{F}_t\,.$$

• Außerdem gilt für jedes $\alpha>1$, dass $\{\alpha T\le t\}=\{T\le t/\alpha\}\in\mathcal{F}_{t/\alpha}\subset\mathcal{F}_t$.
  
  $\Box$

Manchmal ist es nützlich, beliebige (nichtnotwendig diskrete) Stoppzeiten durch monotone Folgen von Stoppzeiten zu approximieren, die jeweils nur abzählbar unendlich viele Werte mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen können. Aus dem Beweis des folgenden Theorems ergibt sich, wie eine solche monotone Folge von diskreten Stoppzeiten konstruiert werden kann.

Theorem 3.8   Sei $T:\Omega\to(0,\infty]$ eine beliebige endliche Stoppzeit über dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$, d.h., es gelte $P(T<\infty)=1$. Dann gibt es eine Folge $\{T^{(n)},\,n\ge 1\}$ von diskreten Stoppzeiten, so dass mit Wahrscheinlichkeit $1$

$$T^{(1)}\ge T^{(2)}\ge \ldots \qquad \lim_{n\to\infty} T^{(n)}=T\,.$$ (4)

Beweis

$\;$

• Für jedes $n\ge 1$ sei die Zufallsvariable $T^{(n)}:\Omega\to[0,\infty)$ gegeben durch

  $$T^{(n)}=\left\{\begin{array}{ll} 0\,, & \mbox{falls $T=0$,}\\ \d... ...ac{k}{2^n}< T\le\frac{k+1}{2^n}\;$\ für ein $k=0,1,\ldots$.} \end{array}\right.$$ (5)

  
  

• Für $k/2^{n}\le t < (k+1)/2^{n}$ gilt dann

  $$\{T^{(n)}\le t\}=\bigl\{T^{(n)}\le \frac{k}{2^n}\bigr\}=\bigl\{T\le \frac{k}{ 2^n}\bigr\} \in\mathcal{F}_{k/ 2^n}\subset\mathcal{F}_t\,.$$ (6)

  
  

• Hieraus folgt, dass $T^{(n)}$ eine Stoppzeit ist, wobei $T^{(1)}\ge T^{(2)}\ge \ldots$ und $\lim_{n\to\infty} T^{(n)}=T$.
  
  $\Box$

Korollar 3.2   $\;$ Sei $T:\Omega\to[0,\infty]$ eine beliebige endliche Stoppzeit. Der Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ sei càdlàg und über dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ wie $T$ gegeben. Dann gilt $\{\omega\in\Omega:\,X_{T(\omega)}(\omega)\in B\}\in \mathcal{F}$ für jedes $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$, d.h., die Abbildung $X_T:\Omega\to\mathbb{R}$ mit

$$X_T(\omega)=X_{T(\omega)}(\omega)$$ (7)

ist $(\mathcal{F},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$-messbar.

Beweis

$\;$

• Weil $\{X(t)\}$ càdlàg ist, ergibt sich aus (4) und (6), dass $X_T=\lim_{n\to\infty} X_{T^{(n)}}$.
• Es genügt nun zu beachten, dass $X_{T^{(n)}}:\Omega\to\mathbb{R}$ eine $(\mathcal{F},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$-messbare Abbildung ist, denn für jedes $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ gilt
  $$\{X_{T^{(n)}}\in B\} = \bigcup_{k=0}^\infty \bigl\{X_{k/2^n}\in B\bigr\}\cap\bigl\{T^{(n)}= \frac{k}{2^n}\bigr\}\in\mathcal{F}\,.$$
  
   
    $\Box$