Submartingale und Supermartingale; Beispiele

Definition

$\;$ Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein stochastischer Prozess über dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ mit der Filtration $\{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$.

• Der Prozess $\{X_t\}$ sei adaptiert, und es gelte ${\mathbb{E}\,} \vert X_t\vert<\infty$ für jedes $t\ge 0$.
• Man sagt, dass $\{X_t\}$ ein Martingal ist, wenn ${\mathbb{E}\,}(X_t\mid\mathcal{F}_s)=X_s$ für beliebige $s,t\ge 0$ mit $s\le t$, wobei ${\mathbb{E}\,}(X_t\mid\mathcal{F}_s)$ die bedingte Erwartung von $X_t$ bezüglich der $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}_s$ bezeichnet; vgl. Abschnitt 2.2.3.
• Außerdem sagt man, dass $\{X_t\}$ ein Submartingal bzw. Supermartingal ist, wenn ${\mathbb{E}\,}(X_t\mid\mathcal{F}_s)\ge X_s$ bzw. ${\mathbb{E}\,}(X_t\mid\mathcal{F}_s)\le X_s$ für beliebige $s,t\ge 0$ mit $s\le t$.

Beispiele

 

1. $\;$ Poisson-Prozess
   • Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein (homogener) Poisson-Prozess mit der Intensität $\lambda>0$.
   • Dann kann man sich leicht überlegen, dass der stochastische Prozess $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ mit $Y_t=X_t-t\lambda$ ein Martingal bezüglich der (natürlichen) Filtration $\{\mathcal{F}_t^X,\,t\ge 0\}$ ist.
     • Aus der Unabhängigkeit und Stationarität der Zuwächse von $\{X_t\}$ und aus den Teilaussagen 4 und 6 von Theorem 2.11 ergibt sich nämlich, dass
       

       $${\mathbb{E}\,}(X_t\mid\mathcal{F}^X_s) = {\mathbb{E}\,}(X_s+(X_t-X_s)\mid\mathcal{F}^X_s)={\mathbb{E}\,}(X_s\mid\mathcal{F}^X_s) +{\mathbb{E}\,}(X_t-X_s\mid\mathcal{F}^X_s)$$

       $$= X_s+{\mathbb{E}\,}(X_t-X_s)=X_s+(t-s)\lambda$$

       
       
       für beliebige $s,t\ge 0$ mit $s\le t$,
     • d.h.,
       $${\mathbb{E}\,}(X_t-t\lambda\mid\mathcal{F}^X_s)=X_s-s\lambda\qquad\forall\, s\le t\,.$$

   • Außerdem kann man zeigen, dass der stochastische Prozess $\{Y^\prime_t\,,t\ge 0\}$ mit $Y^\prime_t=(X_t-t\lambda)^2-t\lambda$ ein Martingal ist.
     • Sei $\widetilde X_t=X_t-t\lambda$.
     • Dann ergibt sich aus der Unabhängigkeit der Zuwächse von $\{\widetilde X_t\}$ und aus den Eigenschaften der bedingten Erwartung (vgl. Theorem 2.11), dass für beliebige $s,t\ge 0$ mit $s\le t$
       

       $${\mathbb{E}\,}(Y^\prime_t\mid\mathcal{F}^X_s) = {\mathbb{E}\,}(\widetilde X^2_t-t\lambda\mid\mathcal{F}^X_s)$$

       $$= {\mathbb{E}\,}\bigl(\bigl(\widetilde X_s+(\widetilde X_t-\widetilde X_s)\bigr)^2 -t\lambda\mid\mathcal{F}^X_s\bigr)$$

       $$= {\mathbb{E}\,}\bigl(\widetilde X_s^2+2\widetilde X_s(\widetilde X... ...tilde X_s)+(\widetilde X_t-\widetilde X_s)^2 -t\lambda\mid\mathcal{F}^X_s\bigr)$$

       $$= \widetilde X_s^2-s\lambda+2\widetilde X_s{\mathbb{E}\,}\bigl(\wid... ...bigr)+{\mathbb{E}\,}\bigl((\widetilde X_t-\widetilde X_s)^2\bigr) -(t-s)\lambda$$

       $$= \widetilde X_s^2-s\lambda=Y^\prime_s\,,$$

       
       

     • wobei in der vorletzten Gleichheit die Tatsache genutzt wurde, dass ${\rm Var\,}(\widetilde X_t-\widetilde X_s)=(t-s)\lambda$.

   
   

2. $\;$ zusammengesetzte Poisson-Prozesse
   • Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein zusammengesetzter Poisson-Prozess mit den Charakteristiken $(\lambda,P_U)$, wobei $\lambda>0$ die Intensität der Sprungzeitpunkte und $P_U$ die Verteilung der Sprunghöhen bezeichnet.
   • Wenn die zusätzliche Integrierbarkeitsbedingung ${\mathbb{E}\,}\vert U\vert<\infty$ erfüllt ist, dann ist der stochastische Prozess $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ mit $Y_t=X_t-t\lambda{\mathbb{E}\,}U$ ein Martingal.
   • Denn genauso wie in dem oben diskutierten Fall des (nicht zusammengesetzten) Poisson-Prozesses ergibt sich, dass
     $${\mathbb{E}\,}(X_t-t\lambda{\mathbb{E}\,}U\mid\mathcal{F}^X_s)=X_s-s\lambda{\mathbb{E}\,} U\qquad\forall\, s\le t\,.$$

   
   

3. $\;$ Wiener-Prozess
   • Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann kann man auf die gleiche Weise wie bei den beiden vorhergehenden Beispielen zeigen, dass $\{X_t\}$ ein Martingal bezüglich der natürlichen Filtration $\{\mathcal{F}_t^X,\,t\ge 0\}$ dieses Prozesses ist.
   • Außerdem kann man zeigen, dass auch die stochstischen Prozesse $\{Y^\prime_t\,,t\ge 0\}$ und $\{\widetilde Y_t\,,t\ge 0\}$ Martingale sind, wobei
     $$Y^\prime_t=X^2_t-t$$   bzw.$$\qquad \widetilde Y_t={\rm e}^{uX_t-u^2t/2}$$
     und $u\in\mathbb{R}$ eine beliebige (jedoch fixierte) Zahl ist.
   • Denn genauso wie im Poisson-Fall ergibt sich, dass für beliebige $s,t\ge 0$ mit $s\le t$
     $${\mathbb{E}\,}(Y^\prime_t\mid\mathcal{F}^X_s) = \ldots = X_s^2-s+... ...}(X_t-X_s)+{\mathbb{E}\,}\bigl((X_t-X_s)^2\bigr)-(t-s) = X_s^2-s=Y^\prime_s\,,$$
     weil ${\mathbb{E}\,}(X_t-X_s)=0$ und ${\mathbb{E}\,}\bigl((X_t-X_s)^2\bigr)=t-s$, d.h., $\{Y^\prime_t\}$ ist ein Martingal.
   • Auf ähnliche Weise ergibt sich, dass für beliebige $s,t\ge 0$ mit $s\le t$
     $${\mathbb{E}\,}({\rm e}^{uX_t-u^2t/2}\mid\mathcal{F}^X_s)={\mathbb{E}\,}{\rm e}^{u(X_t-X_s)}\,{\rm e}^{uX_s-u^2t/2}\,,$$
     woaus folgt, dass $\{\widetilde Y_t\}$ ein Martingale ist, weil ${\mathbb{E}\,}{\rm e}^{u(X_t-X_s)}={\rm e}^{u^2(t-s)/2}$.

   
   

4. $\;$ Lévy-Prozesse
   • Genauso wie bei den ersten drei Beispielen lässt sich für jeden Lévy-Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ mit ${\mathbb{E}\,}\vert X_1\vert<\infty$ ein Martingal konstruieren.
     • Denn für beliebige $s,t\ge 0$ mit $s\le t$ gilt
       $${\mathbb{E}\,}(X_t\mid\mathcal{F}^X_s) =X_s+(t-s)\,{\mathbb{E}\,}X_1\,,$$

     • d.h., $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ mit $Y_t=X_t-t\,{\mathbb{E}\,}X_1$ ist ein Martingal bezüglich der Filtration $\{\mathcal{F}_t^X,\,t\ge 0\}$.
   • Im allgemeinen, d.h., wenn ${\mathbb{E}\,}\vert X_1\vert<\infty$ nicht vorausgesetzt wird, ist für jedes $u\in\mathbb{R}$ ein (komplexwertiges) Martingal $\{\widetilde Y_t\,,t\ge 0\}$ gegeben durch
     $$\widetilde Y_t={\rm e}^{{\rm i}u X_t-t\eta(u)}\,,$$
     wobei $\eta:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ der Lévy-Exponent von $\{X_t\}$ ist; vgl. die Formel (8) in Abschnitt 3.1.
     • Denn für beliebige $u\in\mathbb{R}$ und $t\ge 0$ gilt ${\mathbb{E}\,}\vert\widetilde Y_t\vert={\rm e}^{-t\eta(u)}<\infty$.
     • Außerdem gilt für beliebige $u\in\mathbb{R}$ und $s,t\ge 0$ mit $s\le t$
       

       $${\mathbb{E}\,}(\widetilde Y_t\mid \mathcal{F}_s^X) = {\mathbb{E}\,}\bigl({\rm e}^{{\rm i}uX_t-t\eta(u)}\mid \mathcal{F}_s^X\bigr)$$

       $$= {\mathbb{E}\,}\bigl({\rm e}^{{\rm i}uX_s-s\eta(u)} {\rm e}^{{\rm i}u(X_t-X_s)-(t-s)\eta(u)}\mid \mathcal{F}_s^X\bigr)$$

       $$= {\rm e}^{{\rm i}uX_s-s\eta(u)}\, {\mathbb{E}\,}\bigl( {\rm e}^{{\rm i}u(X_t-X_s)-(t-s)\eta(u)}\mid \mathcal{F}_s^X\bigr)$$

       $$= {\rm e}^{{\rm i}uX_s-s\eta(u)}\, {\mathbb{E}\,}{\rm e}^{{\rm i}u(X_t-X_s)-(t-s)\eta(u)}$$

       $$= {\rm e}^{{\rm i}uX_s-s\eta(u)} \,{\mathbb{E}\,}{\rm e}^{{\rm i}uX_{t-s}-(t-s)\eta(u)} = {\rm e}^{{\rm i}uX_s-s\eta(u)}=\widetilde Y_s\,,$$

       
       
       wobei sich die dritte Gleichheit aus Teilaussage 4 in Theorem 2.11 ergibt, während die vorletzte Gleichheit aus Theorem 3.3 folgt.

   
   

5. $\;$ Markow-Prozesse
   • Wir zeigen nun, wie Martingale für Funktionen von Markow-Prozessen (mit endlich vielen Zuständen) konstruiert werden können.
     • Sei also $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Markow-Prozess mit Werten in der Menge $E=\{1,2,\ldots,\ell\}$,
     • und sei ${\mathbf{Q}}$ die in Abschnitt 2.3.2 eingeführte Intensitätsmatrix von $\{X_t\}$.
   • Für jeden Vektor ${\mathbf{b}}=(b_1,\ldots,b_\ell)^\top\in\mathbb{R}^\ell$ ist dann der stochastische Prozess $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ mit

     $$Y_t=b_{X_t}-b_{X_0}-\int_0^t({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v}\,{\rm d}v\qquad\forall\, t\ge0$$ (8)

     
     
     ein Martingal, wobei das Integral in (8) pfadweise gebildet wird.
     • Weil $\{X_t\}$ ein homogener Markow-Prozess ist, gilt für beliebige $i\in E$ und $s,t\ge 0$ mit $s\le t$
       

       $${{\mathbb{E}\,}\Bigl(b_{X_t}-b_{X_s}-\int_s^t ({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v}\,{\rm d}v \,\bigm\vert\, X_s = i\Bigr)}$$

       $$= {\mathbb{E}\,}\Bigl(b_{X_{t-s}}-b_{X_0}-\int_0^{t-s} ({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v}\,{\rm d}v \,\bigm\vert \, X_0 = i \Bigr)\,.$$

       
       

     • Um zu zeigen, dass der in (8) gegebene Prozess $\{Y_t\}$ ein Martingal ist, genügt es also zu zeigen, dass für beliebige $i\in E$ und $h\ge 0$

       $${\mathbb{E}\,}(b_{X_h}\mid X_0=i)-b_{i} = \int_0^h{\mathbb{E}\,}(({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v}\mid X_0=i)\,{\rm d}v\,,$$ (9)

       
       
       denn man kann sich leicht überlegen, dass
       $${\mathbb{E}\,}\bigl(\int_0^h({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v}\,{\r... ...int_0^h{\mathbb{E}\,}(({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v}\mid X_0=i)\,{\rm d}v\,.$$

     • In Theorem 2.17 hatten wir gezeigt, dass die Übergangsfunktion $\{{\mathbf{P}}(h),h\ge 0\}$ des Markow-Prozesse $\{X_t\}$ für jedes $h\ge 0$ durch ${\mathbf{P}}(h)=\exp(h{\mathbf{Q}})$ gegeben ist.
     • Hieraus folgt, dass

       $${\mathbb{E}\,}\left(b_{X_h}\mid X_0=i\right)={\mathbf{e}}_i^\top\exp({\mathbf{Q}}h){\mathbf{b}}$$ (10)

       
       
       und

       $${\mathbb{E}\,}\bigl(({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v}\mid X_0=i\bigr) = {\mathbf{e}}_i^\top\exp({\mathbf{Q}}v){\mathbf{Q}}{\mathbf{b}}\,,$$ (11)

       
       
       wobei ${\mathbf{e}}_i^\top$ ein $\ell$-dimensionaler (Zeilen-) Vektor ist, für den sämtliche Komponenten gleich 0 sind, bis auf die $i$-te Komponente, die gleich $1$ ist.
     • Aus (10) und (11) ergibt sich nun, dass (9) äquivalent ist mit

       $${\mathbf{e}}_i^\top\exp({\mathbf{Q}}h){\mathbf{b}}-b_{i}=\int_0^h {\mathbf{e}}_i^\top\exp({\mathbf{Q}}v){\mathbf{Q}}{\mathbf{b}}\, {\rm d}v\,,$$ (12)

       
       
       wobei sich die Gültigkeit dieser Gleichung aus Lemma 2.3 ergibt, wenn auf beiden Seiten von (12) die Ableitung nach $h$ gebildet wird.

   
   

6. $\;$ abgeschlossene Martingale
   • Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$, und sei $\{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$ eine beliebige Filtration.
   • Dann kann man sich leicht überlegen, dass der stochastische Prozess $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ mit

     $$Y_t={\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{F}_t)$$ (13)

     
     
     ein Martingal ist, denn aus Teilaussage 6 von Theorem 2.11 ergibt sich, dass für beliebige $s,t\ge 0$ mit $s\le t$
     $${\mathbb{E}\,}\bigl({\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{F}_t)\mid\mathcal{F}_s\bigr)={\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{F}_s)\,.$$

   • Manchmal sagt man, dass der in (13) gegebene stochastische Prozess ein abgeschlossenes Martingal ist.

Beachte

 

• Für die Martingale $\{Y_t\}$ und $\{Y_t^\prime\}$, die in den Beispielen 1 - 4 betrachtet wurden, gilt ${\mathbb{E}\,}Y_t={\mathbb{E}\,} Y_t^\prime=0$ für jedes $t\ge 0$. Ein Martingal mit dieser Eigenschaft wird ein zentriertes Martingal genannt.
• Für die Martingale $\{\widetilde Y_t\}$, die in den Beispielen 3 und 4 betrachtet wurden, gilt dagegen ${\mathbb{E}\,}\widetilde Y_t=1$ für jedes $t\ge 0$.
• Die Definitionsgleichung (8) des Martingals $\{Y_t\}$ in Beispiel 5 wird Dynkin-Formel für Markow-Prozesse genannt.

Aus den Monotonieeigenschaften der bedingten Erwartung (vgl. die Teilaussage 3 von Theorem 2.11) ergibt sich, dass jeder adaptierte Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ mit nichtfallenden Trajektorien und mit ${\mathbb{E}\,} \vert X_t\vert<\infty$ für jedes $t\ge 0$ ein Submartingal ist.

Insbesondere ist jeder ,,integrierbare'' Subordinator ein Submartingal, d.h. jeder (nichtnegative) Lévy-Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ mit nichtfallenden Trajektorien, so dass ${\mathbb{E}\,}\vert X_1\vert<\infty$.

Theorem 3.9   $\;$ Der Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ sei adaptiert und $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sei eine konvexe Funktion, so dass ${\mathbb{E}\,} \vert f(X_t)\vert<\infty$ für jedes $t\ge 0$. Dann ist $\{f(X_t),\,t\ge 0\}$ ein Submartingal, wenn

• $\{X_t\}$ ein Martingal oder
• $\{X_t\}$ ein Submartingal und $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ eine nichtfallende konvexe Funktion ist.

Beweis

$\;$ Aus der Jensen-Ungleichung für bedingte Erwartungen (vgl. die Teilaussage 7 von Theorem 2.11) ergibt sich in beiden Fällen, dass für beliebige $s,t\ge 0$ mit $s\le t$

$${\mathbb{E}\,}\bigl(f(X_t)\mid \mathcal{F}_s\bigr)\ge f\bigl({\mathbb{E}\,}(X_t\mid \mathcal{F}_s)\bigr)\ge f(X_s)\,.$$

 
  $\Box$