Homogener Poisson-Prozess

In diesem Abschnitt betrachten wir zunächst den Fall, dass die ,,Zwischenankunftszeiten'' $T_n=S_n-S_{n-1}$ zwischen den aufeinanderfolgenden Ereigniszeitpunkten $S_1,S_2,\ldots$

• eine Folge $\{T_n,\,n\ge 2\}$ von unabhängigen und identisch verteilten Zufalllsvariablen bilden mit $T_n\sim{\rm Exp}(\lambda)$ für ein $\lambda>0$.
• Außerdem sei $S_1$ unabhängig von $\{T_n,\,n\ge 2\}$, und es gelte $S_1\sim{\rm Exp}(\lambda)$.
• Dann ist der Zählprozess $\{N_t,t\ge 0\}$ mit $N_t=\sum_{k=1}^\infty {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_k\le t)$ ein (homogener) Poisson-Prozess in $[0,\infty)$ mit der Intensität $\lambda$; vgl. Abschnitt 2.2.1.

Wir zeigen, wie der Zählprozess $\{N_t,t\ge 0\}$ auf einfache Weise zu einem Zählprozess $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ auf der gesamten reellen Achse $\mathbb{R}$ fortgesetzt werden kann, so dass $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ stationäre und unabhängige (poissonverteilte) Zuwächse hat.

Theorem 4.2   $\;$ Sei $\{T_n,\,n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit $T_n\sim{\rm Exp}(\lambda)$ für ein $\lambda>0$. Außerdem sei

$$S_n=\left\{\begin{array}{rl} \sum_{k=1}^n T_k & \mbox{für $n\ge 1$,}\\ [3\jot] -\sum_{k=n}^0 T_k & \mbox{für $n\le 0$.} \end{array}\right.$$ (3)

Dann hat der in $(\ref{con.pro.rel})$ gegebene Zählprozess $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ stationäre und unabhängige Zuwächse, wobei $\vert N_t\vert\sim{\rm Poi}(\vert t\vert\lambda)$ für jedes $t\in\mathbb{R}$.

Beweis

 

• Für jedes $t\ge 0$ sei $N^\prime_t=-N_{-t}$. Mit Hilfe von Theorem 2.9 ergibt sich dann aus (1) und (3), dass
  • die stochastischen Prozesse $\{N_t,t\ge 0\}$ und $\{N^\prime_t,t\ge 0\}$ stationäre und unabhängige Zuwächse besitzen,
  • wobei $N_t\sim{\rm Exp}(t\lambda)$ und $N^\prime_t\sim{\rm Exp}(t\lambda)$ für jedes $t\ge 0$.
• Außerdem ergibt sich aus (1) und (3), dass
  • die beiden Prozesse $\{N_t,t\ge 0\}$ und $\{N^\prime_t,t\ge 0\}$ unabhängig sind.
  • Hieraus und aus der Faltungsstabilität der Poisson-Verteilung ergibt sich insbesondere, dass
    $$N_{t_2}-N_{t_1}=N_{t_2}+N^\prime_{-t_1}\sim{\rm Poi}\bigl((t_2-t_1)\lambda\bigr)\qquad\forall\,t_1<0,\,t_2>0\,.$$

• Damit ist klar, dass für beliebige $t_0,\ldots,t_n\in\mathbb{R}$ mit $t_0\le\ldots\le t_n$ und für $h>0$ die Komponenten der Zufallsvektoren $(N_{t_1+h}-N_{t_0+h},\ldots,N_{t_n+h}-N_{t_{n-1}+h})$ unabhängige Zufallsvariablen sind und dass ihre Verteilungen nicht von $h$ abhängen.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Manchmal wird die in (3) eingeführte Folge von Ereigniszeitpunkten $\{S_n\}$ dahingehend modifiziert, dass der ,,Ereignispunkt'' $S_0=0$ zusätzlich hinzufügt wird und die Zufallsvariablen $S_n$ für $n\not=0$ definiert werden durch

  $$S_n=\left\{\begin{array}{rl} \sum_{k=1}^n T_k & \mbox{für $n\ge 1$,}\\ -\sum_{k=n+1}^0 T_k & \mbox{für $n< 0$.} \end{array}\right.$$ (4)

  
  

• Dann bilden die Zwischenankunftszeiten $T_n=S_n-S_{n-1}$ eine stationäre Folge $\{T_n\}$ von unabhängigen und identisch (exponentiell) verteilten Zufallsvariablen.
• Andererseits sieht man leicht, dass der in (1) gegebene Zählprozess $\{N_t,\,t\in \mathbb{R}\}$ in diesem Fall keine stationären Zuwächse hat, denn wegen $S_0=0$ gilt
  $$\lim_{t\uparrow 0} (N_0-N_t)=-\lim_{t\uparrow 0}N_t=1$$   und$$\qquad \lim_{t\downarrow 0} (N_t-N_0)=\lim_{t\downarrow 0} N_t=0\,.$$

Das folgende Resultat zeigt,

• wie sich das in (4) betrachtete Modell eines (inhomogenen) Zählprozesses vom Poisson-Typ durch Grenzübergang aus einer bedingten Version des in (3) eingeführten Modells des homogenen Poisson-Prozesses ergibt.
• Dabei wird das letztere Modell unter der Bedingung betrachtet, dass in einer (kleinen) $\varepsilon$-Umgebung des Nullpunktes ein Ereigniszeitpunkt liegt.

Hierfür benötigen wir die folgenden Bezeichnungen. Sei $T_{\min}=\min\{T_0,T_1\}$, und für beliebige $t_1,t_2\in\mathbb{R}$ sei

$$N_{t_1,t_2}=\left\{\begin{array}{ll} N_{t_2}-N_{t_1}\,,&\mbox{fal... ..._1\le t_2$,}\\ N_{t_1}-N_{t_2}\,,&\mbox{falls $t_1>t_2$.} \end{array}\right.$$

Theorem 4.3   $\;$

• Sei $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ der in Theorem  $\ref{the.for.poi}$ betrachtete Poisson-Prozess mit stationären und unabhängigen Zuwächsen.
• Außerdem sei $\{N^\prime_t,t\in \mathbb{R}\}$ ein Zählprozess mit $S_0^\prime=0$, dessen Zwischenankunftszeiten $T^\prime_n=S_n^\prime-S^\prime_{n-1}$ eine stationäre Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen bilden mit $T^\prime_n\sim{\rm Exp}(\lambda)$.
• Dann gilt für jedes $n=1,2,\ldots$, für beliebige $t_1,\ldots,t_n\in\mathbb{R}$ mit $t_1\le\ldots\le t_n$ und für beliebige $k_1,\ldots,k_n\ge 0$
  

  $$P(N^\prime_{t_1}\le k_1,\ldots,N^\prime_{t_n}\le k_n) = \lim_{\varepsilon\downarrow 0}\Bigl( P\bigl(N_{t_1-T_0,-T_0}\le k_1,\ldots,N_{t_n-T_0,-T_0}\le k_n,T_0<T_1\mid T_{\min}\le \varepsilon\bigr)$$

  $$+P\bigl(N_{t_1+T_1,T_1}\le k_1,\ldots,N_{t_n+T_1,T_1}\le k_n,T_0>T_1\mid T_{\min}\le \varepsilon\bigr)\Bigr)\,.$$ (5)

  
  

Beweis

 

• Wir zeigen die Gültigkeit von (5) nur für $n=1$.
  • Für beliebige $t\ge 0$ und $k\ge 0$ gilt dann
    

    $${\lim_{\varepsilon\downarrow 0}\Bigl( P\bigl(N_{t-T_0,-T_0}\le k,... ...N_{t+T_1,T_1}\le k,T_0>T_1\mid T_{\min}\le \varepsilon\bigr)\Bigr)\hspace{4cm}}$$

    $$= \lim_{\varepsilon\downarrow 0}\Bigl( P\bigl(T_0+\ldots+T_{k+1}>t,T_0<T_1\mid T_{\min}\le \varepsilon\bigr)$$

    $$\hspace{1cm}+ P\bigl(T_2+\ldots+T_{k+2}>t,T_0>T_1\mid T_{\min}\le \varepsilon\bigr)\Bigr)$$

    $$= \lim_{\varepsilon\downarrow 0}\Bigl(\frac{P(T_0\le \varepsilon)}{... ...varepsilon)}\; P\bigl(T_0+\ldots+T_{k+1}>t,T_0<T_1\mid T_0\le \varepsilon\bigr)$$

    $$\hspace{1cm} +\lim_{\varepsilon\downarrow 0}\Bigl(\frac{P(T_1\le ... ...ilon)}\; P\bigl(T_2+\ldots+T_{k+2}>t,T_0>T_1\mid T_1\le \varepsilon\bigr)\Bigr)$$

    $$= \frac{1}{2}\;P\bigl(T_1+\ldots+T_{k+1}>t\bigr)+\frac{1}{2}\; P\bigl(T_2+\ldots+T_{k+2}>t\bigr)$$

    $$= P\bigl(T_1+\ldots+T_{k+1}>t\bigr)=P(N^\prime_t\le k)\,.$$

    
    

  • Auf die gleiche Weise ergibt sich, dass für $t<0$ und $k\ge 0$
    $$\lim_{\varepsilon\downarrow 0}\Bigl( P\bigl(N_{t-T_0,-T_0}\le k,T... ...}\le k,T_0>T_1\mid T_{\min}\le \varepsilon\bigr)\Bigr) = P(N^\prime_t\le k)\,.$$

• Die Gültigkeit von (5) für $n\ge 2$ ergibt sich durch ähnliche Überlegungen.
  
  $\Box$