Zählprozesse im $\mathbb{R}^1$

Wir modifizieren das in Abschnitt  eingeführte Konzept von Zählprozessen $\{N_t,t\ge 0\}$ dahingehend, dass wir Zählprozesse ,,mit Vergangenheit'' betrachten, d.h., die in Abschnitt  betrachteten Ereigniszeitpunkte $S_n$ liegen jetzt nicht nur in $[0,\infty)$, sondern sie sind auf der gesamten reellen Achse $\mathbb{R}$ verteilt.

Definition

 

• Sei $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und sei $\{S_n,\,n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\}$ eine (monotone) Folge von reellwertigen Zufallsvariablen über $(\Omega,\mathcal{F},P)$ mit $\ldots S_{-1}< S_0\le 0<S_1< S_2<\ldots$, so dass mit Wahrscheinlichkeit $1$
  $$\lim_{n\to\infty}S_n=\infty$$   und$$\qquad \lim_{n\to-\infty}S_n=-\infty\,.$$

• Der stochastische Prozess $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ mit

  $$N_t=\left\{\begin{array}{rl} \sum_{k=1}^\infty {1\hspace{-1mm}{\r... ...nfty}^0 {1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_k> t) & \mbox{für $t< 0$,} \end{array}\right.$$ (1)

  
  
  wird Zählprozess genannt. Die Zufallsvariablen $S_n$ heißen Ereigniszeitpunkte.

Beachte

 

• Der in (1) gegebene Zählprozess $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ ist càdlàg und hat stückweise konstante Trajektorien, deren Unstetigkeitsstellen die Ereigniszeitpunkte $S_n$ sind. Dabei gilt $N_t\ge 0$ für $t\ge 0$ und $N_t\le 0$ für $t<0$.
• Durch den Ansatz

  $$N_B=\char93 \{n:\,S_n\in B\}\qquad\forall\, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$$ (2)

  
  
  ist dann ein zufälliges Zählmaß $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$ über $(\Omega,\mathcal{F},P)$ gegeben.

Definition

 

• Man sagt, dass der Zählprozess $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ stationäre Zuwächse hat, wenn für beliebige $t_0,\ldots,t_n\in\mathbb{R}$ mit $t_0\le\ldots\le t_n$ die Verteilungen der Zufallsvektoren $(N_{t_1+h}-N_{t_0+h},\ldots,N_{t_n+h}-N_{t_{n-1}+h})$ nicht von $h>0$ abhängen.
• Außerdem sagt man, dass $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ist, wenn die Zufallsvariablen $(N_{t_1}-N_{t_0},\ldots,N_{t_n}-N_{t_{n-1}})$ für beliebige $t_0,\ldots,t_n\in\mathbb{R}$ mit $t_0\le\ldots\le t_n$ unabhängig sind.
• Das zufällige Zählmaß $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$ heißt stationär, wenn für beliebige $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ und $h\in\mathbb{R}$ die Verteilungen der Zufallsvektoren $(N_{B_1+h},\ldots,N_{B_n+h})$ nicht von $h$ abhängen.

Theorem 4.1   $\;$ Sei $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ ein Zählprozess über $(\Omega,\mathcal{F},P)$, und das Zählmaß $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$ sei gegeben durch $(\ref{ein.zus.mas})$. Der Prozess $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ hat genau dann stationäre Zuwächse, wenn $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$ stationär ist.

Beweis

 

• Wenn das zufällige Zählmaß $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$ stationär ist, dann gilt für beliebige $h\in\mathbb{R}$ und $t_0,\ldots,t_n\in\mathbb{R}$ mit $t_0\le\ldots\le t_n$
  

  $${ (N_{t_1+h}-N_{t_0+h},\ldots,N_{t_n+h}-N_{t_{n-1}+h}) = (N_{(t_1,t_2]+h},\ldots,N_{(t_{n-1},t_n]+h})\hspace{6cm}}$$

  $$\stackrel{{\rm d}}{=} (N_{(t_1,t_2]},\ldots,N_{(t_{n-1},t_n]}) =(N_{t_1}-N_{t_0},\ldots,N_{t_n}-N_{t_{n-1}})\,,$$

  
  
  d.h., der Zählprozess $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ hat stationäre Zuwächse.
• Sei nun umgekehrt $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ ein Zählprozess mit stationären Zuwächsen.
  • Dann ist das Mengensystem $\mathcal{G}\subset\mathcal{B}(\mathbb{R})$ derjenigen Borel-Mengen $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$, für die
    $$N_{B+h}\stackrel{{\rm d}}{=}N_B$$
    für jedes $h\in\mathbb{R}$ gilt, ein sogenanntes $d$-System, dass die Familie aller Intervalle der Form $(t_2,t_1]$ enthält, vgl. Abschnitt WR-3.2.3.
  • Aus dem Satz über monotone Klassen (vgl. Theorem WR-3.2) ergibt sich nun, dass $\mathcal{G}=\mathcal{B}(\mathbb{R})$.
  • Auf ähnliche Weise kann man zeigen, dass
    $$(N_{B_1+h},\ldots,N_{B_n+h})\stackrel{{\rm d}}{=}(N_{B_1},\ldots,N_{B_n})$$
    für jedes $n\ge 1$, für beliebige Borel-Mengen $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ und für jedes $h\in\mathbb{R}$ gilt.
    
    $\Box$