Allgemeines Konstruktionsprinzip für Zählprozesse mit stationären Zuwächsen

• Der am Ende von Abschnitt 4.1.1 erwähnte Zuhammenhang
  • zwischen (Poissonschen) Zählprozessen mit stationären Zuwächsen und stationären Folgen von (unabhängigen und exponentiell verteilten) Zwischenankunftszeiten
  • kann als Spezialfall eines wesentlich allgemeineren Szenarios aufgefasst werden.
• Dabei gehen wir nun umgekehrt vor und setzen voraus,
  • dass $S_0=0$ gilt und
  • dass die Zwischenankunftszeiten $T_n=S_n-S_{n-1}$ zwischen den aufeinanderfolgenden Ereigniszeitpunkten $S_{n-1}$ und $S_n$ eine beliebige stationäre Folge $\{T_n\}$ von (nichtnotwendig unabhängigen) positiven Zufallsvariablen über einem gewissen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ bilden.

Es gelte also

$$\{T_n\}\stackrel{{\rm d}}{=}\{T_{n+1}\}$$ (6)

und damit auch $\{T_n\}\stackrel{{\rm d}}{=}\{T_{n+n_0}\}$ für jede natürliche Zahl $n_0\ge 1$. Außerdem setzen wir in diesem Abschnitt lediglich voraus, dass

$$0<\mu={\mathbb{E}\,}T_n<\infty\,.$$ (7)

Beachte

 

• Es ist klar, dass die Invarianzeigenschaft (6) insbesondere dann gilt, wenn $\{T_n\}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen ist.
• Weitere Beispiele von stationären Folgen $\{T_n\}$, die nicht aus unabhängigen Zufallsvariablen bestehen, lassen sich mit Hilfe der Sprungzeitpunkte von reversiblen Markow-Prozessen konstruieren, die ihre Werte in dem endlichen Zustandsraum $E=\{1,\ldots,\ell\}$ annehmen, wobei $\ell>1$ eine beliebige, jedoch vorgegebene natürliche Zahl ist; vgl. Abschnitt 4.1.4.

Wir zeigen nun, wie man ausgehend von einer stationären Folge $\{T_n\}$ von positiven Zufallsvariablen über $(\Omega,\mathcal{F},P)$ einen Wahrscheinlichkeitsraum $(\widetilde\Omega,\widetilde\mathcal{F},\widetilde P)$ und einen Zählprozess $\{\widetilde N_t,\,t\in\mathbb{R}\}$ über $(\widetilde\Omega,\widetilde\mathcal{F},\widetilde P)$ konstruieren kann, so dass $\{\widetilde N_t\}$ stationäre Zuwächse hat.

Hierfür führen wir zunächst einige Bezeichnungen ein.

• Mit $\mathbb{K}=\prod_{n=-\infty}^\infty (0,\infty)$ bezeichnen wir den Produktraum, in dem die zufällige Folge $\{T_n\}$ ihre Werte annimmt,
  • und mit $\mathcal{B}(\mathbb{K})=\bigotimes_{n=-\infty}^\infty \mathcal{B}(0,\infty)$ die $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen in $\mathbb{K}$.
  • Die Verteilung von $\{T_n\}$ über $(\mathbb{K},\mathcal{B}(\mathbb{K}))$ bezeichnen wir mit $Q$.
  • Außerdem betrachten wir den Verschiebungsoperator ${\mathbf{U}}:\mathbb{K}\to\mathbb{K}$ mit ${\mathbf{U}}(\{t_n\})=\{t_{n-1}\}$.
• Weil $\{T_n\}$ stationär ist, ergibt sich aus (6), dass die Verteilung $Q$ von $\{T_n\}$ invariant bezüglich ${\mathbf{U}}$ ist, d.h., es gilt

  $$Q({\mathbf{U}}(B))=Q(B)\qquad\forall\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{K})\,,$$ (8)

  
  
  wobei ${\mathbf{U}}(B)=\bigl\{{\mathbf{U}}({\mathbf{t}}):\,{\mathbf{t}}=\{t_n\}\in B\bigr\}$.
• Ausgehend von der ,,folgenstationären'' Verteilung $Q$ über $(\mathbb{K},\mathcal{B}(\mathbb{K}))$, die die Invarianzeigenschaft (8) besitzt, kann man nun einen Zählprozess $\{\widetilde N_t,\,t\in\mathbb{R}\}$ mit stationären Zuwächsen konstruieren.
  • Hierfür sei $\mathbb{L}$ die Menge aller Folgen ${\mathbf{s}}=\{s_n,\,n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\}$ reeller Zahlen, so dass
    $$\ldots s_{-1}< s_0\le 0<s_1< s_2<\ldots$$   und$$\qquad\lim_{\vert n\vert\to\infty}\vert s_n\vert=\infty\,,$$

  • Mit $\mathcal{B}(\mathbb{L})$ bezeichnen wir die $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen in $\mathbb{L}$.
• Außerdem betrachten wir für jedes $h\in\mathbb{R}$ den (zeitkontinuierlichen) Verschiebungsoperator ${\mathbf{T}}_h:\mathbb{L}\to\mathbb{L}$

  $${\mathbf{T}}_h(\{s_n\})=\{s_n-h\}\qquad\forall\, \{s_n\}\in\mathbb{L}\,,$$ (9)

  
  
  der die ,,Punkte'' $s_n$ von ${\mathbf{s}}=\{s_n\}\in\mathbb{L}$ um $h$ Längeneinheiten nach links bzw. den Ursprung um $h$ Längeneinheiten nach rechts verschiebt, falls $h>0$.
• Schließlich sei $\mathbb{L}_0=\bigl\{{\mathbf{s}}=\{s_n\}\in\mathbb{L}:\, s_0=0\bigr\}$ und für jedes ${\mathbf{t}}=\{t_n\}\in\mathbb{K}$ sei die Abbildung
  $${\mathbf{t}}\mapsto {\mathbf{s}}^{({\mathbf{t}})}=\{s^{({\mathbf{t}})}_n\}\in\mathbb{L}_0$$
  gegeben durch
  $$s^{({\mathbf{t}})}_n=\left\{\begin{array}{cl} \sum_{k=1}^n t_k &\... ...{für $n=0$,}\\ -\sum_{k=n+1}^0 t_k &\mbox{für $n<0$.}\\ \end{array}\right.$$

Definition

$\;$ Ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ über $(\mathbb{L},\mathcal{B}(\mathbb{L}))$ heißt ${\mathbf{T}}$-invariant, wenn

$$P({\mathbf{T}}_h (A))=P(A)\qquad\forall\, h\in\mathbb{R},\,A\in\mathcal{B}(\mathbb{L})\,,$$ (10)

wobei ${\mathbf{T}}_h (A)=\{{\mathbf{T}}_h ({\mathbf{s}}):\,{\mathbf{s}}\in A\}$.

Theorem 4.4   Sei $Q$ ein ${\mathbf{U}}$-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß über $(\mathbb{K},\mathcal{B}(\mathbb{K}))$ mit $0<\mu=\int_{\mathbb{K}} t_1 \, Q({\rm d}t)<\infty$. Dann ist durch den Ansatz

$$P_Q(A)=\frac{1}{\mu}\;\int_{\mathbb{K}}\int_0^{t_1} {1\hspace{-1m... ...r)\,{\rm d}h\,Q({\rm d}{\mathbf{t}})\qquad\forall\, A\in\mathcal{B}(\mathbb{L})$$ (11)

ein ${\mathbf{T}}$-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß $P_Q$ über $(\mathbb{L},\mathcal{B}(\mathbb{L}))$ gegeben.

Beweis

 

• Für beliebige ${\mathbf{t}}=\{t_n\}\in\mathbb{K}$, $A\in\mathcal{B}(\mathbb{L})$ und $j\ge 0$ gilt offenbar

  $$\int_0^{{\mathbf{U}}^j({\mathbf{t}})_1} {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A... ...rm I}}_A\bigl({\mathbf{T}}_h ({\mathbf{s}}^{({\mathbf{t}})})\bigr)\,{\rm d}h\,.$$ (12)

  
  

• Weil $Q$ ein ${\mathbf{U}}$-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß ist, ergibt sich aus (11) und (12), dass für jedes $n\ge 0$
  

  $$P_Q(A) = \int_0^{t_1} {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_A\bigl({\mathbf{T}}_h ({\mathbf{s}}^{({\mathbf{t}})})\bigr)\,{\rm d}h\,Q({\rm d}{\mathbf{t}})$$

  $$= \frac{1}{(n+1)\mu}\;\sum_{j=0}^n\int_{\mathbb{K}} \int_0^{{\mathb... ...{s}}^{({\mathbf{U}}^j({\mathbf{t}}))})\bigr)\,{\rm d}h \,Q({\rm d}{\mathbf{t}})$$

  $$= \frac{1}{(n+1)\mu}\;\sum_{j=0}^n\int_{\mathbb{K}}\int_{\sum_{k=1}... ...f{T}}_h ({\mathbf{s}}^{({\mathbf{t}})})\bigr)\,{\rm d}h\,Q({\rm d}{\mathbf{t}})$$

  $$= \frac{1}{(n+1)\mu}\;\int_{\mathbb{K}}\int_0^{\sum_{k=1}^{n+1} {t_... ...}}_h ({\mathbf{s}}^{({\mathbf{t}})})\bigr)\,{\rm d}h\,Q({\rm d}{\mathbf{t}})\,.$$

  
  

• Hieraus folgt, dass für jedes $t\in\mathbb{R}$
  

  $$P_Q({\mathbf{T}}_t(A)) = \frac{1}{(n+1)\mu}\;\int_{\mathbb{K}}\int_0^{\sum_{k=1}^{n+1} {t_... ...f{T}}_h ({\mathbf{s}}^{({\mathbf{t}})})\bigr)\,{\rm d}h\,Q({\rm d}{\mathbf{t}})$$

  $$= \frac{1}{(n+1)\mu}\;\int_{\mathbb{K}}\int_0^{\sum_{k=1}^{n+1} {t_... ...}_{h-t} ({\mathbf{s}}^{({\mathbf{t}})})\bigr)\,{\rm d}h\,Q({\rm d}{\mathbf{t}})$$

  $$= \frac{1}{(n+1)\mu}\;\int_{\mathbb{K}}\int_t^{\sum_{k=1}^{n+1} {t_... ...}}_h ({\mathbf{s}}^{({\mathbf{t}})})\bigr)\,{\rm d}h\,Q({\rm d}{\mathbf{t}})\,.$$

  
  

• Insgesamt ergibt sich also die Abschätzung
  $$\vert P_Q(A) - P_Q({\mathbf{T}}_t(A))\vert\le \frac{2\vert t\vert}{(n+1)\mu} \qquad\forall\,n\ge 0\,.$$

• Weil die linke Seite des letzten Ausdruckes nicht von $n$ abhängt und $n$ beliebig groß gewählt werden kann, gilt also $P_Q(A)= P_Q({\mathbf{T}}_t(A))$ für beliebige $A\in\mathcal{B}(\mathbb{L})$ und $t\in\mathbb{R}$.
  
  $\Box$

Beachte

$\;$ Durch Vertauschung der Integrationsreihenfolge ergibt sich, dass (11) äquivalent ist mit

$$P_Q(A)=\frac{1}{\mu}\;\int_0^\infty Q\bigl({\mathbf{t}}:\,t_1>h,\... ...athbf{t}})})\in A\bigr)\,{\rm d}h\qquad\forall\, A\in\mathcal{B}(\mathbb{L})\,.$$ (13)

Korollar 4.1   $\;$

• Die Folge von Zufallsvariablen $\{\widetilde S_n\}$ sei über dem kanonischen Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathbb{L},\mathcal{B}(\mathbb{L}),P_Q)$ definiert, wobei $\widetilde S_k(\{s_n\})=s_k$ für jedes $k\in\{0,\pm 1,\pm 2,\ldots\}$ und das Wahrscheinlichkeitsmaß $P_Q$ durch $(\ref{def.peh.quu})$ gegeben ist.
• Durch den Ansatz

  $$\widetilde N_t=\left\{\begin{array}{rl} \sum_{k=1}^\infty {1\hspa... ...\hspace{-1mm}{\rm I}}(\widetilde S_k> t) & \mbox{für $t< 0$} \end{array}\right.$$ (14)

  
  
  ist dann ein Zählprozess $\{\widetilde N_t,t\in\mathbb{R}\}$ über $(\mathbb{L},\mathcal{B}(\mathbb{L}),P_Q)$ gegeben, der stationäre Zuwächse hat.

Beweis

$\;$ Die Behauptung ergibt sich unmittelbar aus der in Theorem 4.4 gezeigten ${\mathbf{T}}$-Invarianz des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P_Q$.

$\Box$

Beachte

$\;$ Für den in Abschnitt 4.1.1 betrachteten Spezialfall, bei dem die Zwischenankunftszeiten $T_n=S_n-S_{n-1}$ eine Folge von unabhängigen und identisch (exponentiell) verteilten Zufallsvariablen bilden, kann man sich leicht überlegen, dass dann der in (14) gegebene Zählprozess $\{\widetilde N_t,t\in\mathbb{R}\}$ ein homogener Poisson-Prozess ist.