Erneuerungsprozesse mit stationären Zuwächsen

Wir setzen nun voraus, dass $S_0=0$ und dass die Zwischenankunftszeiten $T_n=S_n-S_{n-1}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit einer beliebigen Verteilungsfunktion $F$ bilden.

• Sei $\{\widetilde S_n\}$ die in Korollar 4.1 betrachtete Folge von zufälligen Zeitpunkten mit
  $$\ldots \widetilde S_{-1}< \widetilde S_0 < 0< \widetilde S_1< \widetilde S_2<\ldots\,.$$

• Wir zeigen, dass dann
  • die neuen ,,Zwischenankunftszeiten'' $\widetilde T_n=\widetilde S_n-\widetilde S_{n-1}$ für $n\not=1$ ebenfalls eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit der gleichen Verteilungsfunktion $F$ wie $T_n$ bilden,
  • wobei jedoch die Abstände $\widetilde S_1$ und $-\widetilde S_0$ vom Nullpunkt zum kleinsten positiven Zeitpunkt $\widetilde S_1$ bzw. zum größten negativen Zeitpunkt $\widetilde S_0$ eine besondere Rolle spielen,
  • denn im allgemeinen müssen die Zufallsvariablen $-\widetilde S_0$ und $\widetilde S_1$ weder unabhängig sein noch die Verteilungsfunktion $F$ der Abstände $\widetilde T_n$ mit $n\not\in\{0,1\}$ besitzen.

Beachte

 

• Wenn die Zwischenankunftszeiten $T_n=S_n-S_{n-1}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen bilden, dann sagt man, dass der in (1) gegebene stochastische Prozess $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ ein gewöhnlicher Erneuerungszählprozess bzw. kurz ein Erneuerungsprozess ist, wobei $S_n$ der $n$-te Erneuerungszeitpunkt heißt.
• Außerdem sagt man, dass der in $(\ref{con.pro.til})$ gegebene Zählprozess $\{\widetilde N_t,t\in\mathbb{R}\}$ mit stationären Zuwächsen ein verzögerter Erneuerungsprozess ist.

Theorem 4.5   $\;$

• Die Verteilung $Q$ von $\{T_n\}$ über $(\mathbb{K},\mathcal{B}(\mathbb{K}))$ sei das Produktmaß, das durch die (eindimensionale Rand-) Verteilungsfunktion $F$ erzeugt wird, so dass $0<\mu=\int_0^\infty(1-F(y))\,{\rm d}y<\infty$.
• Für die in Korollar  $\ref{cor.kon.sta}$ betrachtete Folge $\{\widetilde S_n\}$ von zufälligen Zeitpunkten gilt dann:

  1.

  Für $n\not=1$ sind die Zufallsvariablen $\widetilde T_n=\widetilde S_n-\widetilde S_{n-1}$ unabhängig und identisch verteilt mit der Verteilungsfunktion $F$.

  2.

  Die zufällige Folge $\bigl\{\widetilde T_n,\,n\not=1\bigr\}$ und der Zufallsvektor $(-\widetilde S_0,\widetilde S_1)$ sind unabhängig.

  3.

  Die gemeinsame Verteilung von $(-\widetilde S_0,\widetilde S_1)$ ist gegeben durch

  $$P_Q(-\widetilde S_0>u,\,\widetilde S _1>v)=\frac{1}{\mu}\;\int_{u+v}^\infty (1-F(y)\,{\rm d}y\qquad\forall\,u,v\ge 0\,.$$ (15)

  
  

Beweis

 

• Für $k\ge 1$, für beliebige $u,v,u_1,\ldots,u_k\ge 0$ und für beliebige $n_1,\ldots,n_k\not=1$ mit $n_1<\ldots<n_k$ sei
  $$A=\bigl\{-\widetilde S_0>u,\,\widetilde S_1>v,\, \widetilde S_{n_... ...{n_1-1}> u_1,\,\ldots,\,\widetilde S_{n_k}-\widetilde S_{n_k-1}> u_k\bigr\}\,.$$

• Dann ergibt sich aus (13), dass
  

  $${ P_Q\bigl(-\widetilde S_0>u,\,\widetilde S_1>v,\, \widetilde S_{... ...de S_{n_1-1}> u_1,\,\ldots,\,\widetilde S_{n_k}-\widetilde S_{n_k-1}>u_k\bigr)}$$

  $$= \frac{1}{\mu}\;\int_0^\infty Q\bigl({\mathbf{t}}:\,t_1>h,\,{\mathbf{T}}_h ({\mathbf{s}}^{({\mathbf{t}})})\in A\bigr)\,{\rm d}h$$

  $$= \frac{1}{\mu}\;\int_0^\infty Q\bigl({\mathbf{t}}:\,t_1>h,\,h>u,\,t_1-h>v,\,t_{n_1}> u_1,\,\ldots,\,t_{n_k}> u_k\bigr)\, {\rm d}h$$

  $$= \frac{1}{\mu}\;\int_0^\infty Q\bigl({\mathbf{t}}:\,t_1>h,\,h>u,\,t_1-h>v\bigr)\, {\rm d}h\;\prod_{j=1}^k(1-F(u_j))$$

  $$= \frac{1}{\mu}\;\int_{u+v}^\infty (1-F(h))\,{\rm d}h \;\prod_{j=1}^k(1-F(u_j))\,,$$

  
  
  wobei sich die vorletzte Gleichheit aus der Annahme ergibt, dass $Q$ ein Produktmaß über $(\mathbb{K},\mathcal{B}(\mathbb{K}))$ ist.
  
  $\Box$