Semi-Markowsche Zählprozesse; Simulationsalgorithmus

Eine weitere Klasse von Zählprozessen in $\mathbb{R}$ mit stationären Zuwächsen ergibt sich, wenn das in Theorem 4.4 betrachtete ${\mathbf{U}}$-invariante Wahrscheinlichkeitsmaß $Q$ über $(\mathbb{K},\mathcal{B}(\mathbb{K}))$ die folgende (verallgemeinerte) Produktdarstellung besitzt. Dabei verwenden wir einige grundlegende Begriffe aus der Theorie der zeitdiskreten Markow-Ketten, vgl. das Skript zur Vorlesung ,,Markow-Ketten und Monte-Carlo-Simulation'' im SS 2003.

Theorem 4.6    

• Sei $\ell\ge 1$ eine beliebige natürliche Zahl und sei $E=\{1,\ldots,\ell\}$ ein endlicher Zustandsraum.
  • Außerdem sei ${\mathbf{P}}=(p_{ij})_{i,j=1,\ldots,\ell}$ eine irreduzible und aperiodische $\ell\times\ell$ Matrix mit

    $$p_{ij}\ge0\,,\qquad \sum_{j=1}^\ell p_{ij}=1\,,$$ (16)

    
    

  • sei ${\boldsymbol{\pi}}=(\pi_1,\ldots,\pi_\ell)^\top$ die (eindeutig bestimmte) positive Lösung der Gleichung

    $${\boldsymbol{\pi}}^\top={\boldsymbol{\pi}}^\top{\mathbf{P}}\,,$$ (17)

    
    

  • und für beliebige $i,j\in E$ sei $F_{ij}:\mathbb{R}\to[0,1]$ eine Verteilungsfunktion mit $F_{ij}(0)=0$.
• Die Verteilung $Q$ der stationären Folge $\{T_n\}$ über $(\mathbb{K},\mathcal{B}(\mathbb{K}))$ sei gegeben durch

  $$Q\bigl({\mathbf{t}}\in\mathbb{K}:\,t_n\le u_0,\,t_{n+1}\le u_1\,\... ...\ldots,i_m\in E} \pi_{i_0}\prod_{k=0}^{m-1} p_{i_ki_{k+1}}\,F_{i_ki_{k+1}}(u_k)$$ (18)

  
  
  für beliebige $n\in\{0,\pm1,\pm2,\ldots\}$, $m\ge 0$ und $u_0,\ldots,u_m\ge 0$, so dass
  $$\mu\Bigl(={\mathbb{E}\,}T_1\Bigr)=\sum_{i,j\in E} \pi_{i_0} p_{ij}\,\int_0^\infty(1-F_{ij}(y))\,{\rm d}y<\infty\,.$$

• Dann gilt für die in Korollar  $\ref{cor.kon.sta}$ betrachtete Folge $\{\widetilde S_n\}$ von zufälligen Zeitpunkten, dass für beliebige $n<0$, $m>0$ und $v,u_n,\ldots,u_{m}\ge 0$
  

  $${ P_Q\bigl(\{-\widetilde S_0>u_0,\,\widetilde S_1>v\}\,\cap\bigca... ...n\{n,\ldots,m\}\setminus\{0\}} \{\widetilde S_k-\widetilde S_{k-1}>u_k\}\bigr)}$$

  $$= \frac{1}{\mu}\;\sum_{i_n,\ldots,i_m\in E} p_{i_0i_1}\int_{u_0+v}^... ...\}\setminus\{0\}}\pi_{i_n} p_{i_ki_{k+1}}\,\bigl(1-F_{i_ki_{k+1}}(u_k)\bigr)\,.$$ (19)

  
  

Der Beweis von Theorem 4.6 verläuft ähnlich wie der Beweis von Theorem 4.4. Er wird deshalb weggelassen.

Definition

 

• Wenn die Verteilung $Q$ der Zwischenankunftszeiten $T_n=S_n-S_{n-1}$ durch (18) gegeben ist, dann sagt man,
  • dass der in (1) gegebene stochastische Prozess $\{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ ein semi-Markowscher Zählprozess ist.
  • In diesem Fall wird der in $(\ref{con.pro.til})$ gegebene Zählprozess $\{\widetilde N_t,t\in\mathbb{R}\}$ ein verzögerter semi-Markowscher Zählprozess (mit stationären Zuwächsen) genannt.
• Für $\ell=1$ ergeben sich die in Abschnitt 4.1.3 betrachteten Erneuerungprozesse als Spezialfall.

Beachte

 

• Die in (16) betrachtete stochastische Matrix ${\mathbf{P}}$ kann als die Übergangsmatrix einer Markow-Kette aufgefasst werden, wobei ${\boldsymbol{\pi}}$ die zugehörige stationäre Anfangsverteilung ist, vgl. Theorem MK-2.5.
• Wenn die Verteilungsfunktionen $F_{ij}$ nicht von $j$ abhängen und gegeben sind durch

  $$1-F_{ij}(x)={\rm e}^{-q(i)x}\qquad\forall\, x\ge 0\,,$$ (20)

  
  
  • wobei $q(1),\ldots,q(\ell)$ eine beliebige Folge positiver Zahlen ist,
  • dann kann man zeigen, dass $\{\widetilde S_n\}$ die Folge von Sprungzeitpunkten eines stationären Markow-Prozesses $\{X_t,\,t\in\mathbb{R}\}$ ist, vgl. auch Theorem 2.18.
• Wenn der Markow-Prozess $\{X_t,\,t\in\mathbb{R}\}$ zusätzlich reversibel ist, d.h.,
  • wenn die Eintragungen $q_{ij}$ seiner Intensitätsmatrix ${\mathbf{Q}}=(q_{ij})$ dem Gleichungssystem
    $$\widetilde\pi_i q_{ij}=\widetilde\pi_j q_{ji}\qquad\forall\,i,j\in E$$
    genügen, wobei $\widetilde{\boldsymbol{\pi}}=(\widetilde\pi_1,\ldots,\widetilde\pi_\ell)^\top$ die (zeit-) stationäre Anfangsverteilung des Markow-Prozesses $\{X_t\}$ ist mit ${\boldsymbol{\pi}}^\top{\mathbf{Q}}={\,{\bf0}}$,
  • dann ist durch Theorem 4.6 ein Algorithmus zur Simulation des stationären Markow-Prozesses $\{X_t,\,t\in\mathbb{R}\}$ gegeben, vgl. auch Übungsaufgabe 12.3.