Definition und elementare Eigenschaften

Wir führen nun den Begriff des Poissonschen Zählmaßes im $d$-dimensionalen euklidischen Raum $\mathbb{R}^d$ ein.

Definition

$\;$ Sei $\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$ die Familie aller beschränkten Borel-Mengen in $\mathbb{R}^d$ und sei $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\to[0,\infty]$ ein beliebiges lokal-endliches Maß, d.h., $\mu(B)<\infty$ gilt für jedes $B\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$.

• Man sagt, dass $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ ein (inhomogenes) Poissonsches Zählmaß mit dem Intensitätsmaß $\mu$ ist, wenn
  1. die Zufallsvariablen $N_{B_1},N_{B_2},\ldots$ unabhängig sind für paarweise disjunkte $B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$ und
  2. $N_{B}\sim {\rm Poi}(\mu(B))$ für jedes $B\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$ gilt.
• Wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass das Intensitätsmaß $\mu$ proportional zum $d$-dimensionalen Lebesgue-Maß $\nu_d$ ist, d.h., für eine Konstante $\lambda<\infty$ gilt
  $$\mu(B)=\lambda\nu_d(B)\qquad\forall\, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\,,$$
  dann sagt man, dass $\{N_B\}$ ein homogenes Poissonsches Zählmaß mit der Intensität $\lambda$ (bzw. kurz ein homogener Poisson-Prozess) im $\mathbb{R}^d$ ist.

Beachte

$\;$ Aus Theorem 4.7 ergibt sich, dass die Bedingungen 1 und 2 in der Definition des Poisson-Prozesses durch die folgenden (scheinbar schwächeren) Bedingungen ersetzt werden können:

$1^\ast.$

Die Zufallsvariablen $N_{B_1},N_{B_2},\ldots$ sind unabhängig für paarweise disjunkte $B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{M}^d$ und

$2^\ast.$

$N_{B}\sim {\rm Poi}(\mu(B))$ gilt für jedes $B\in\mathcal{M}^d$.

Wir diskutieren zunächst einige elementare Eigenschaften von Poisson-Prozessen im $\mathbb{R}^d$.

Theorem 4.8   $\;$ Sei $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $\mu$.

• Dann gilt

  $$P(N_{B_1}=k_1,\ldots,N_{B_n}=k_n)=\frac{\mu^{k_1}(B_1)\ldots \mu^{k_n}(B_n)}{k_1!\ldots k_n!}\;\exp\bigl(-\sum_{i=1}^n\mu(B_i)\bigr)$$ (3)

  
  
  für beliebige $n\ge 1$, $k_1,\ldots,k_n\ge 0$ und paarweise disjunkte $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$.
• Außerdem genügen die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(N_{B_1}=k_1,\ldots,N_{B_n}=k_n\mid N_B=k)$ für jedes $B\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$ mit $0<\mu(B)<\infty$ und für paarweise disjunkte $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$ mit $\bigcup_{i=1}^n B_i=B$ einer Multinomialverteilung, d.h., es gilt

  $$P(N_{B_1}=k_1,\ldots,N_{B_n}=k_n\mid N_B=k)=\frac{k!}{k_1!\ldots k_n!}\;\frac{\mu^{k_1}(B_1)\ldots \mu^{k_n}(B_n)}{\mu^{k}(B)}$$ (4)

  
  
  für beliebige $k,k_1,\ldots,k_n\ge 0$ mit $k=k_1+\ldots+ k_n$.

Der Beweis von Theorem 4.8 ergibt sich unmittelbar aus den Bedingungen 1 und 2 in der Definition des homogenen Poisson-Prozesses.

Mit Hilfe der Theoreme 4.7 und 4.8 lässt sich eine einfache Methode zur Konstruktion von Poisson-Prozessen mit endlichem Intensitätsmaß herleiten.

Korollar 4.2   $\;$ Sei $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\to[0,\infty)$ ein beliebiges Maß mit $0<\mu(\mathbb{R}^d)<\infty$, und $N:\Omega\to[0,\infty)$ bzw. $S_1,S_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}^d$ seien unabhängige Zufallsvariablen mit

$$N\sim{\rm Poi}(\mu(\mathbb{R}^d))\,,\qquad S_i\sim\;\frac{\mu(\cdot)}{\mu(\mathbb{R}^d)} \quad\forall\,i\ge 1\,.$$ (5)

Dann ist das zufällige Zählmaß $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ mit

$$N_B=\char93 \{i:\,1\le i\le N, S_i\in B\}\qquad\forall\, B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$$ (6)

ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $\mu$.

Beweis

 

• Mit der Schreibweise
  $$p(B)=\;\frac{\mu(B)}{\mu(\mathbb{R}^d)}\qquad\forall\, B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$$
  ergibt sich aus (5) und (6), dass
  $$P(N_{B_1}=k_1,\ldots,N_{B_n}=k_n\mid N=k)=\;\frac{k!}{k_0!k_1!\ldots k_n!}\;p^{k_0}(B_0)\,p^{k_1}(B_1)\,\ldots\,p^{k_n}(B_n)$$
  für jedes $n\ge 1$, für beliebige, paarweise disjunkte $B_1,\ldots,B_n\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ und für $k_0,k_1,\ldots,k_n\ge 0$ mit $k=k_0+k_1+\ldots+k_n$, wobei $B_0=\mathbb{R}^d\setminus\bigcup_{i=1}^nB_i$.
• Hieraus folgt, dass
  

  $${ P(N_{B_1}=k_1,\ldots,N_{B_n}=k_n) = \sum_{k=k_1+\ldots+k_n}^\infty P(N=k)\,P(N_{B_1}=k_1,\ldots,N_{B_n}=k_n\mid N=k)}$$

  $$= \sum_{k=k_1+\ldots+k_n}^\infty \;\frac{{\rm e}^{-\mu(\mathbb{R}^d... ...k_1!\ldots k_n!}\;p^{k-k_1-\ldots-k_n}(B_0)\,p^{k_1}(B_1)\,\ldots\,p^{k_n}(B_n)$$

  $$= \sum_{k=k_1+\ldots+k_n}^\infty \;\frac{{\rm e}^{-\mu(B_0)}\mu^{k-... ...{R}^d\setminus B_0)}}{k_1!\ldots k_n!}\; \mu^{k_1}(B_1)\,\ldots\,\mu^{k_n}(B_n)$$

  $$= \frac{{\rm e}^{ -\mu(\mathbb{R}^d\setminus B_0)}}{k_1!\ldots k_n!... ...{k_n}(B_n) = \prod_{i=1}^n\;\frac{{\rm e}^{ -\mu(B_i)}\mu^{k_i}(B_i)}{k_i!}\; .$$

  
  

• Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Formel (3) in Theorem 4.8, dann erkennt man, dass das in (6) gegebene zufällige Zählmaß die gleichen endlich-dimensionalen Verteilungen hat wie ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $\mu$.
• Hieraus und aus Theorem 4.7 ergibt sich sich nun die Behauptung.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Wenn das Intensitätsmaß $\mu$ in Korollar 4.2 die Form $\mu(B)=\lambda\nu_d(B\cap C)$ hat für ein $\lambda<\infty$ und eine beschränkte Borel-Menge $C\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$ mit $0<\nu_d(C)<\infty$, dann sind die in (5) betrachteten (unabhängigen) Zufallsvektoren $S_1,S_2,\ldots$ gleichverteilt in $C$.
• Wenn zusätzlich angenommen wird, dass die Menge $C$ ein $d$-dimensionaler Quader der Form

  $$C=(a_1,b_1]\times\ldots\times(a_d,b_d]$$ (7)

  
  
  ist, dann hat der Zufallsvektor $S_i=(S_{i1},\ldots,S_{id})$ für jedes $i=1,\ldots,n$ unabhängige Komponenten $S_{i1},\ldots,S_{id}$, wobei $S_{ij}\sim{\rm U}(a_j,b_j)$ für jedes $j=1,\ldots,d$.
• Die Aussage von Korollar 4.2 wird deshalb manchmal die bedingte Gleichverteilungseigenschaft von homogenen Poisson-Prozessen in beschränkten Borel-Mengen genannt.

Das folgende Resultat über die Summation von unabhängigen Poisson-Prozessen ist ein Analogon der Faltungsstabilität von Poisson-Verteilungen.

Theorem 4.9   Sei $\{N^{(1)}_B \},\,\{N^{(2)}_B\},\,\ldots$ eine Folge unabhängiger Poisson-Prozesse in $\mathbb{R}^d$ mit den Intensitätsmaßen $\mu_1,\mu_2,\ldots$, so dass das Maß $\mu=\sum_{i=1}^\infty \mu_i$ lokal endlich ist. Dann ist das zufällige Zählmaß $\{N_B\}$ mit $N_B=\sum_{i=1}^\infty N_B^{(i)}$ ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $\mu$.

Beweis

 

• Wir zeigen zunächst, dass

  $$N_B\sim{\rm Poi}(\mu(B))\qquad\forall\,B\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)\,.$$ (8)

  
  
  • Weil $\{N^{(1)}_B \},\,\{N^{(2)}_B\},\,\ldots$ unabhängige Zählmaße sind, sind die Zufallsvariablen $N^{(1)}_B,N^{(2)}_B,\,\ldots$ unabhängig, wobei $N^{(i)}_B\sim{\rm Poi}(\mu_i(B))$ für jedes $i\ge 1$ und für jedes $B\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$.
  • Aus der Faltungsstabilität von Poisson-Verteilungen ergibt sich somit, dass für jedes $n\ge 1$ und für jedes $B\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$
    $$\sum_{i=1}^n N^{(i)}_B\sim{\rm Poi}(\sum_{i=1}^n\mu_i(B))\,.$$

  • Hieraus und aus der Monotonie von Wahrscheinlicheitsmaßen ergibt sich, dass für beliebige $k\ge 0$ und $B\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$
    

    $$P(N_B\le k) = P\bigl(\sum_{i=1}^\infty N^{(i)}_B \le k\bigr)=\lim_{n\to\infty} P\bigl(\sum_{i=1}^n N^{(i)}_B \le k\bigr)$$

    $$= \lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^k\;\frac{\exp\bigl(-\sum_{i=1}^n\mu_i(B)\bigr)\, \bigl(\sum_{i=1}^n\mu_i(B)\bigr)^j}{j!}$$

    $$= \sum_{j=0}^k\;\frac{\exp\bigl( -\mu(B)\bigr)\, \bigl( \mu(B)\bigr)^j}{j!}\;.$$

    
    

  • Damit ist (8) bewiesen.
• Um den Beweis zu beenden, ist noch zu zeigen, dass die Zufallsvariablen $N_{B_1},N_{B_2},\ldots,N_{B_n}$ für jedes $n\ge 2$ und paarweise disjunkte $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$ unabhängig sind.
  • Weil die Zufallsvariablen $\{N^{(i)}_{B_j},\,i=1,\ldots,m,\,j=1,\ldots,n\}$ für beliebige $m,n\ge 1$ unabhängig sind, ergibt sich aus dem Satz über die Unabhängigkeit zusammengesetzter Abbildungen (vgl. Theorem WR-3.18), dass auch die Zufallsvariablen $\{\sum_{i=1}^m N^{(i)}_{B_j},\,j=1,\ldots,n\}$ unabhängig sind.
  • Wegen der Monotonie von Wahrscheinlicheitsmaßen kann man nun leicht zeigen, dass die Zufallsvariablen
    $$\bigl\{N_{B_j},\,j=1,\ldots,n\bigr\}=\bigl\{\sum_{i=1}^\infty N^{(i)}_{B_j},\,j=1,\ldots,n\bigr\}$$
    ebenfalls unabhängig sind.
    
    $\Box$

Wir zeigen nun noch, dass die Einschränkung von Poisson-Prozessen auf Borelsche Teilmengen des $\mathbb{R}^d$ erneut zu Poisson-Prozessen führt.

Theorem 4.10   Sei $\{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $\mu$, und sei $B_0\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ eine beliebige Borel-Menge. Dann ist das zufällige Zählmaß $\{\widetilde N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ mit $\widetilde N_B=N_{B\cap B_0}$ ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $\widetilde\mu$, wobei $\widetilde\mu(B)=\mu(B\cap B_0)$ für jedes $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$.

Beweis

 

• Weil $\{N_B\}$ ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $\mu$ ist, gilt
  $$\widetilde N_B=N_{B\cap B_0}\sim{\rm Poi}\bigl(\mu(B\cap B_0)\bigr)={\rm Poi}(\widetilde\mu(B))\qquad \forall\,B\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)\,.$$

• Weil für beliebige paarweise disjunkte $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$ auch die Mengen $B_1\cap B_0,\ldots,B_n\cap B_0$ paarweise disjunkt sind, sind die Zufallsvariablen $\widetilde N_{B_1}=N_{B_1\cap B_0},\ldots,\widetilde N_{B_n}=N_{B_n\cap B_0}$ unabhängig.
  
  $\Box$