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Definition und elementare Eigenschaften

Wir führen nun den Begriff des Poissonschen Zählmaßes im $ d$-dimensionalen euklidischen Raum $ \mathbb{R}^d$ ein.

Definition
$ \;$ Sei $ \mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$ die Familie aller beschränkten Borel-Mengen in $ \mathbb{R}^d$ und sei $ \mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\to[0,\infty]$ ein beliebiges lokal-endliches Maß, d.h., $ \mu(B)<\infty$ gilt für jedes $ B\in\mathcal{B}_0(\mathbb{R}^d)$.


Beachte
$ \;$ Aus Theorem 4.7 ergibt sich, dass die Bedingungen 1 und 2 in der Definition des Poisson-Prozesses durch die folgenden (scheinbar schwächeren) Bedingungen ersetzt werden können:
$ 1^\ast.$
Die Zufallsvariablen $ N_{B_1},N_{B_2},\ldots$ sind unabhängig für paarweise disjunkte $ B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{M}^d$ und
$ 2^\ast.$
$ N_{B}\sim {\rm Poi}(\mu(B))$ gilt für jedes $ B\in\mathcal{M}^d$.


Wir diskutieren zunächst einige elementare Eigenschaften von Poisson-Prozessen im $ \mathbb{R}^d$.

Theorem 4.8   $ \;$ Sei $ \{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $ \mu$.

Der Beweis von Theorem 4.8 ergibt sich unmittelbar aus den Bedingungen 1 und 2 in der Definition des homogenen Poisson-Prozesses.


Mit Hilfe der Theoreme 4.7 und 4.8 lässt sich eine einfache Methode zur Konstruktion von Poisson-Prozessen mit endlichem Intensitätsmaß herleiten.

Korollar 4.2   $ \;$ Sei $ \mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\to[0,\infty)$ ein beliebiges Maß mit $ 0<\mu(\mathbb{R}^d)<\infty$, und $ N:\Omega\to[0,\infty)$ bzw. $ S_1,S_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}^d$ seien unabhängige Zufallsvariablen mit

$\displaystyle N\sim{\rm Poi}(\mu(\mathbb{R}^d))\,,\qquad S_i\sim\;\frac{\mu(\cdot)}{\mu(\mathbb{R}^d)} \quad\forall\,i\ge 1\,.$ (5)

Dann ist das zufällige Zählmaß $ \{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ mit

$\displaystyle N_B=\char93 \{i:\,1\le i\le N, S_i\in B\}\qquad\forall\, B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ (6)

ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $ \mu$.


Beweis
 

Beachte
 


Das folgende Resultat über die Summation von unabhängigen Poisson-Prozessen ist ein Analogon der Faltungsstabilität von Poisson-Verteilungen.

Theorem 4.9   Sei $ \{N^{(1)}_B \},\,\{N^{(2)}_B\},\,\ldots$ eine Folge unabhängiger Poisson-Prozesse in $ \mathbb{R}^d$ mit den Intensitätsmaßen $ \mu_1,\mu_2,\ldots$, so dass das Maß $ \mu=\sum_{i=1}^\infty
\mu_i$ lokal endlich ist. Dann ist das zufällige Zählmaß $ \{N_B\}$ mit $ N_B=\sum_{i=1}^\infty N_B^{(i)}$ ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $ \mu$.


Beweis
 


Wir zeigen nun noch, dass die Einschränkung von Poisson-Prozessen auf Borelsche Teilmengen des $ \mathbb{R}^d$ erneut zu Poisson-Prozessen führt.

Theorem 4.10   Sei $ \{N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $ \mu$, und sei $ B_0\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ eine beliebige Borel-Menge. Dann ist das zufällige Zählmaß $ \{\widetilde
N_B,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ mit $ \widetilde N_B=N_{B\cap B_0}$ ein Poisson-Prozess mit dem Intensitätsmaß $ \widetilde\mu$, wobei $ \widetilde\mu(B)=\mu(B\cap B_0)$ für jedes $ B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$.

Beweis
 


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Ursa Pantle 2005-07-13